Avanzado Principio de fermat y Calculo variacional

[eljose]

me han pedido que escriba un trabajo sobre el 'Principio de Fermat' y como puede deducirse la 'Ley de Snell' o la de Refraccion a partir del principio de que el funcional

$t= \int _{a}^{b} \frac{ds}{v}$

debe de ser un minimo..

¿tiene alguna relacion el principio de Fermat con la Braquistocrona ??

NO estoy pidiendo 'resuelvemlo por la cara' solo pido informacion sobre la formula del funcional a minimizar que dependera del indice de refraccion del medio n(x,y) gracias

[[Beto]]

Re: Principio de fermat y Calculo variacional

Hola cuando tienes un funcional de la forma:

$$J=\int_a^bf(y,y';x)\dd x$$

El valor de $f$ que optimiza el funcional es:

$$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)-\frac{\partial f}{\partial y}=0$$

[polonio]

Re: Principio de fermat y Calculo variacional

me han pedido que escriba un trabajo sobre el 'Principio de Fermat' y como puede deducirse la 'Ley de Snell' o la de Refraccion a partir del principio de que el funcional

$t= \int _{a}^{b} \frac{ds}{v}$

debe de ser un minimo..

¿tiene alguna relacion el principio de Fermat con la Braquistocrona ??

NO estoy pidiendo 'resuelvemlo por la cara' solo pido informacion sobre la formula del funcional a minimizar que dependera del indice de refraccion del medio n(x,y) gracias

Pues tiene que ver con la braquistócrona (trayectoria que sigue una bola ensartada en una curva y que se recorre en tiempo mínimo, problema que propuso y solucionó Bernoulli), pues la principio de Fermat es un principio variacional y la braquistócrona es una curva que se obtiene por un principio variacional.

El principio de Fermat nos dice que la trayectoria que sigue la luz es aquélla que hace estacionario el tiempo en recorrer la curva (en principio Fermat, en el siglo XVII, lo enunció como tiempo mínimo).

Así que, centrándonos en lo pides, ten en cuenta que el índice de refracción puede variar de un punto a otro del medio (y, por tanto, la velocidad de la luz): $n=\frac{c}{v}$. Expresa, entonces:

$\delta t= \delta \int_{a}^{b} \frac {n(s)}{c}ds=0$

Esto nos lleva a que el camino óptico $L_{ab} = \int_{a}^{b} n(s) ds$ es extremal:

$\delta L= \delta \int_{a}^{b} n(s)ds=0$

pues la vel. de la luz en el vacío es cte.

Obtendrás ecuaciones de Euler-Lagrange para $n(s)$.

Puedes espresar la trayectoria en cartesianas ($(ds)^2=(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2$) o con el triedro intrínseco (usa vectores tangente y normal a la trayectoria)...

De todas formas, esto lo tienes resuelto en más de un libro de Óptica.

[pod]

Re: Principio de fermat y Calculo variacional

Para la ley de Snell no hace falta mucha de la parafernalia del cálculo variacional. Se puede resolver usando el siguiente procedimiento:

1. Razonar (o calcular) que la trayectoria entre dos puntos sin cambio de medios que cumple el principio de Fermat es la linea recta.
2. Debido a lo anterior, la trayectoria debe componerse de dos tramos rectos; como mucho puede desviarse cierto ángulo en la interfase entre medios.
3. Escribir el tiempo que tarda la luz (o, equivalentemente, el camino óptico) en recorrer esa trayectoria en función del ángulo de desviación. Esto requerirá que trabajes un poco la trigonometría
4. Encontrar el ángulo que hace extremo dicho tiempo. Esto es una derivada normal ahora, no variacional. Te dará directamente la ley de Snell (puede que cueste un poco reconocerla, dependiendo de como hayas parametrizado los ángulos).

Eso si, te aconsejo que si tienes tiempo aproveches para aprender todo el cálculo variacional, no sólo esta versión "resumida" (basada en realizar la hipótesis del punto 1), ya que es bonita, potente y útil.

[polonio]

Re: Principio de fermat y Calculo variacional

La verdad es que todo lo que dice pod está muy bien (de hecho, yo lo comentaría en las conclusiones y tomaría el caso de índice uniforme para comprobar que en este caso las trayectorias son rectas,...). Pero no creo que se conformen con eso en un trabajo de un curso de doctorado.

Me parece que va a tener que mojarse con la parafernalia del cálculo variacional, que el trabajo va a ir de eso. Además, los principios variacionales son bonitos, hombre.... (a mí me gustan).

[eljose]

Re: Principio de fermat y Calculo variacional

gracias a todos/as pr contestar realmente estoy en un curso de la Universidad de Granad de 'Calculo de vairaciones' y he dado (por supuesto) mecanica teorica en la carrera.. es que el profesor nos ha pedido una breve introduccion historica del principio de fermat y de la 'Ley de Snell' obtenida meidante calculo de variaciones .... y por eso estaba buscando dicho libro.

[polonio]

Re: Principio de fermat y Calculo variacional

Pues, si buscas libros, aquí tienes uno:

Cálculo variacional: Breve exposición del material teórico y problemas con soluciones detalladas
Escrito por M.L. Krasnov, A.I. Kiseliov, G.I. Makarenko
Publicado por URSS, 2005
ISBN 5354011000, 9785354011001

Para el caso concreto del principio de Fermat, ya te he dicho, en casi cualquier libro de Óptica (incluido el de Justiniano Casas,...)

[pod]

Re: Principio de fermat y Calculo variacional

Uhm, pues la verdad es que no me había dado cuen que era de doctorado En cualquier caso, el hilo está marcado como 1r ciclo...

[polonio]

Re: Principio de fermat y Calculo variacional

Es verdad, estaba marcado así. He quitado la marca para que no haya confusión.