Problema con covarianza y contravarianza

[leo_ro]

Dada la siguiente base de un espacio en R2

${e}_{1}=(1,0)$
${e}_{2}=(0,1)$

Se define el siguiente vector:

$v = 5 {e}_{1} + 2 {e}_{2}$ ,

donde $a = \begin{pmatrix}{5}\\{2}\end{pmatrix}$ son las componentes del vector.

Mi primer duda es la siguientes, ¿se dice que el vector es covariante o contravariante? o ¿sus componentes o bases son covariantes y contravariantes

A su vez, dado un nuevo obervador, cuya base es:

${e'}_{1}=(-1,0)$
${e'}_{2}=(0,1)$

La matriz de transformación de la base es:

$M = \begin{pmatrix}{-1}&{0}\\{0}&{1}\end{pmatrix}$

${e'}_{1}=(1,0) \begin{pmatrix}{-1}&{0}\\{0}&{1}\end{pmatrix}$
${e'}_{2}=(0,1) \begin{pmatrix}{-1}&{0}\\{0}&{1}\end{pmatrix}$

Para describir el vector $v$, las componentes del vector transforman con la misma matriz, y no con su inversa.

$a' = \begin{pmatrix}{5}\\{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}{-1}&{0}\\{0}&{1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{-5}\\{2}\end{pmatrix}$

Entonces ¿ podemos decir que el vector $v$ es covariante debido a que sus componentes transforman con la misma matriz de la base?

[Weip]

Hola leo_ro.

Mi primer duda es la siguientes, ¿se dice que el vector es covariante o contravariante? o ¿sus componentes o bases son covariantes y contravariantes

Como lenguaje decimos que "las componentes vector $v$ son contravariantes", pero usualmente también decimos que "el vector $v$ es contravariante" como abuso de lenguaje. En notación de índices se escribe $v=v^ie_i$, donde $i=1, 2$ y $v^1=5$, $v^2=2$ son las componentes en la base $e_i$.

Entonces ¿ podemos decir que el vector $v$ es covariante debido a que sus componentes transforman con la misma matriz de la base?

Es contravariante porque se transforma como $v^iM^j_i=v'^j$. Para que fuese covariante deberías tener una transformación de la forma $v_i(M^{-1})^i_j=v'_j$, siendo $(M^{-1})^i_j$ la inversa.