Problema de optimización

[Crstinacq]

Re: Problema de optimización

Según yo lo veo, para derivar la función, lo puedes hacer derivando la fracción o sacando la constante ${\dst \frac 12}$

En el primer caso, derivando la fracción entera, el denominador creo que tendría que ser 4, y quedaría:
$\dst A'(x)=\frac{\sqrt{m^2-x^2}}{4}(1-2x^2)=0$

Si sacamos la constante, entonces se ha de hacer la derivada del producto, la suma de las dos funciones derivadas, cosa que no es lo que ha hecho GNzcuber...

Alomejor me equivoco, es muy probable porque hace como un mes que no hago ni un problema, pero creo que es así.

[GNzcuber]

Re: Problema de optimización

Debería dar lo mismo, pero es mucho más complicado lo que dices porque en el numerador hay un producto que deberías tratar como una función.

Si tuvieras $\dst f(x)=\frac x 2$

Su derivada puedes hacerla de dos formas que hemos hecho:

$$\dst f'(x)=\frac 1 2 (x)'=\frac 1 2$$

o bien,

$$\dst f'(x)=\frac{(x)'\cdot 2-(2)'\cdot x}{2^2}=\frac{1\cdot 2-0\cdot x}{4}=\frac{1}{2}$$

Pero como te he dicho en el caso que en el numerador tengas un producto olvidate de lo segundo, si es una constante claro .

¡Saludos!

[Crstinacq]

Re: Problema de optimización

$\dst A'(x)=\frac{\sqrt{m^2-x^2}}{2}-\frac{x^2}{2\sqrt{m^2-x^2}}$

Con esto ahora sí que me queda claro. No había pensado en la regla de la cadena yo tampoco...

Pues menos mal que fue el problema que no elegí, porque sino tendría 2 puntos menos!

Muchas gracias por las respuestas!!

[DFP]

Re: Problema de optimización

Creo que ya te entiendo Cristina (o Cris, ya nos dirás como llamarte ).

${\dst A'(x) = \frac 12 \frac {m^2 - x^2 + x}{\sqrt{m^2 - x^2}} = 0 }$

Pero es lo mismo creo.

EDITO: Vale, soy demasiado lento. En serio, ¿que programa usais? Con latex es imposible! jaja

[GNzcuber]

Re: Problema de optimización

EDITO: Vale, soy demasiado lento. En serio, ¿que programa usais? Con latex es imposible! jaja

Te lo dan en la uni, pero creo que en la UB se acabaron el año pasado... el último me lo llevé yo .

[Al2000]

Re: Problema de optimización

Una solución de puro razonamiento: si cualquiera de los dos catetos tiene longitud cero ($\alpha = 0$ o $\alpha = \pi /2$) el área del triángulo será cero. Para cualquier otro valor de la longitud de un cateto el área tendrá un valor mayor que cero. Como el área del triángulo varía entre sendos ceros para cada extremo del valor de la longitud de un cateto, deberá tener un máximo y, por simetría, dicho máximo ocurrirá cuando ambos catetos tengan la misma longitud.

Saludos,

Al

[Al2000]

Re: Problema de optimización

...
Su derivada es más sencilla:

$$\dst A'(\alpha)=m^2\frac{\cos(2\alpha)}{2}=0\Rightarrow \cos(2\alpha)=0\left\{\begin{aligned}\alpha=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}k\, rad\\ \alpha=\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{2}k\, rad\end{aligned}\right.$$

Segunda derivada:

$$\dst A''(\alpha)=-m^2\sin(2\alpha)$$

Sustituyendo:

$$\dst A''\left(\frac{\pi}{4}\right)=-m^2<0\longrightarrow \quad Maximo$$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
...

Muy bien, pero no pierdas de vista que por condición del problema el valor de $\alpha$ está restringido al intervalo $(0,\pi /2)$.

Saludos,

Al