1r ciclo Ayuda a un novato que no sabe integrar

[Dante]

Hola, acabo de empezar 1º de fisica y fruto de no haber pasado de bachiller ya tengo algunos quebraderos de cabeza, voy a toda leche aprendiendo a derivar integrar etc, pero creo que el profesor en clase se salta algunos pasos por obvios que hacen que en casa me cueste mucho llegar al final de ejercicios que supongo seran simples. Ej:

Hay que encontrar la densidad de probabilidad

Pongo el intervalo de la integral al lado (me refiero a los dos numeritos esos, integral definida?...)

P(x∈[x1,x2])=\int (x1,x2) ρxdx

Normalización ⇒\int (0,L) ρx dx = 1

Entiendo que Px al ser una constante se ponga delante de la integral.

ρx = cte. ⇒ ρx \int(0,L) dx=1
px = 1/L --> Aqui veo el problema, seguro que es una chorrada pero desconozco la dinamica de este calculo, ¿ha sustituido Px por L y pasa dividiendo al 1?¿ Y el 0 ?

P(x ∈ [0, L/2]) = \int(0,L/2) pxdx= 1/L \int(0,L/2) dx = 1/2

Aqui si que me pierdo, deduzco que 1/L y L/2 se han multiplicado y simplificado en 1/2 pero sigo desconociendo la mecanica

Tengo varios libros y miro por internet pero encuentro popurris y cosas que no se si son las que necesito, total un follo, ni siquiera se si lo que pregunto o si tal como lo he expresado tiene sentido, pero bueno, no tiro la toalla.

Si alguien me puede recomendar algun libro que empiezo desde lo basico tanto de integrales como de derivadas se lo agradeceria, un saludo y sed indulgentes conmigo plis

[angel relativamente]

Re: Ayuda a un novato que no sabe integrar

En primer lugar, cuando escribas tus ecuaciones escribelas en LaTeX. ¿Cómo escribir en LaTeX? Pues has de aprenderte ciertos códigos, pero por suerte verás muchos de ellos escribiendo el mensaje en "modo avanzado". Para que te aparezcan has de escribirlo todo entre los comandos [TEX][/ TEX]

Si alguien me puede recomendar algun libro que empiezo desde lo basico tanto de integrales como de derivadas se lo agradeceria, un saludo y sed indulgentes conmigo plis

Un usuario llamado GNzcuber me recomendó un libro sobre integrales llamado "Cálculo Integral", de base universitaria, editorial ANAYA. Por lo que he ojeado parece explicar el cálculo integral bastante bien.
Saludos!

[Dante]

Re: Ayuda a un novato que no sabe integrar

Creo que despues de escribirlo lo he pillado un poco, en el primer caso en Px se ponen los limites (L y 0) dando de resultados al pasar al otro lado 1/L y 1/0 , quedandonos con el primer resultado?
En el segundo caso ya no lo entiendo porque ¿ donde pongo los valores de 0 y L/2 para que se multiplique por 1/L
Mi confusion viene sobre todo porque supongo que los limites han de sustituir algo no? si fuera algo como 1/L \int (0,L/2) xdx supongo que seria cuestion de integrar x que seria (x^2)/2 y multiplicar por 1/L....
Perdonad si finalmente lo unico que hago es marear la perdiz, pero aprendi estas cosas ayer viendo tutoriales en youtube y poco mas... Gracias por vuestra paciencia.

[Dante]

Re: Ayuda a un novato que no sabe integrar

Oki, gracias por la recomendacion le echare un vistazo a ver que tal, seguire tu consejo en cuanto a la forma de expresar las ecuaciones. Un saludo

[Al2000]

Re: Ayuda a un novato que no sabe integrar

...
Pongo el intervalo de la integral al lado (me refiero a los dos numeritos esos, integral definida?...)

P(x∈[x1,x2])=\int (x1,x2) ρxdx

Normalización ⇒\int (0,L) ρx dx = 1

Entiendo que Px al ser una constante se ponga delante de la integral.

ρx = cte. ⇒ ρx \int(0,L) dx=1
px = 1/L --> Aqui veo el problema, seguro que es una chorrada pero desconozco la dinamica de este calculo, ¿ha sustituido Px por L y pasa dividiendo al 1?¿ Y el 0 ?
...

Digamos que quieres evaluar la integral definida de una función $\dst f_{(x)}$ entre los límites $\dst x_1$ y $\dst x_2$ (llamemos al valor de esa integral $I$):

$$I = \int_{x_1}^{x_2} f_{(x)}\,dx$$

No voy ni siquiera a intentar darte una definición de lo que es la integral de una función, ya te tendrás que sumergir en un texto de cálculo si deseas saberlo. En la práctica, obtener la integral de una función es usar los resultados conocidos (es decir, calculados previamente por gente que si sabe) de los casos mas simples y aplicar algunas técnicas básicas para transformar los casos menos simples en una combinación de casos simples (muchas veces decimos mas bien, integrales inmediatas).

Entonces digamos que el resultado de integrar la función $\dst f_{(x)}$ es otra función, llamémosla $\dst F_{(x)}$:

$$\int f_{(x)}\,dx = F_{(x)}$$

Pues bien, la integral definida de $\dst f_{(x)}$ entre $\dst x_1$ y $\dst x_2$ vale

$$I = \int_{x_1}^{x_2} f_{(x)}\,dx = F_{(x_2)} - F_{(x_1)}$$

En tu caso la función que estás integrando es la mas simple posible, una constante:

$$\int _0 ^L (1)\,dx$$

y se conoce que la integral de una función constante $\dst f_{(x)} = k$ vale

$$\int k\,dx = k\,x$$

Entonces tu profesor omitió por obvios estos pasos:

$$\int _0 ^L dx = \int _0 ^L (1)\,dx = (1)\,L - (1)\,0 = L$$

...
P(x ∈ [0, L/2]) = \int(0,L/2) pxdx= 1/L \int(0,L/2) dx = 1/2

Aqui si que me pierdo, deduzco que 1/L y L/2 se han multiplicado y simplificado en 1/2 pero sigo desconociendo la mecanica
...

Igual que lo anterior pero donde pone $L$, escribe $L/2$.

Saludos,

Al

[Dante]

Re: Ayuda a un novato que no sabe integrar

Ahora lo veo todo muchisimo mas claro, pero me falta la puntilla final.
EL problema empieza asi:

Px (densidad de probabilidad) =dP/dx

Px = 1/L

¿Entonces dP es el calculo de donde sacamos el 1 (normalizacion , que es la suma de todas las probabilidades) y L de dx?
Se que dijo que dx pasaba a la izquierda multiplicando... ains

Esta claro que no entiendo esa primera parte, esta claro que copiar y atender al mismo tiempo no vale...
Muchisimas gracias por la respuesta concisa y clara, me has ayudado una barbaridad

[Al2000]

Re: Ayuda a un novato que no sabe integrar

...
EL problema empieza asi:

Px (densidad de probabilidad) =dP/dx

Px = 1/L

¿Entonces dP es el calculo de donde sacamos el 1 (normalizacion , que es la suma de todas las probabilidades) y L de dx?
...

Por favor, entiende en lo que sigue que voy a ser muy informal (tampoco podría ser muy formal aunque quisiera )

Cuando pones una expresión como

$$p_x = \frac {dP}{dx}$$

estás diciendo que la densidad de $P$ se calcula tomando el cociente del pequeño intervalo de probabilidades $\Delta P$ que ocurren en el pequeño intervalo $\Delta x$ de la variable que estás considerando

$$p_x \approx \frac {\Delta P}{\Delta x}$$

Claro, la expresión anterior es sólo una aproximación pues lo que nos da es el valor medio de la variación de $P$ en el intervalo $\Delta x$, pero si hacemos ese intervalo muy pequeño, obtendremos la primera expresión.

Suponte ahora que quieres determinar el cambio total en la probabilidad desde un valor $\dst x_1$ hasta un valor $\dst x_2$ de la variable que se considera. Lo que haríamos es dividir el intervalo en pequeños subintervalos $\Delta x$ y sumar los incrementos de $P$ en cada subintervalo

$$(\Delta P)_1 + (\Delta P)_2 + \cdots = (p_x \Delta x)_1 + (p_x \Delta x)_2 + \cdots$$

desde $\dst x_1$ hasta $\dst x_2$. Para abreviarte el cuento, lo que hacemos es

$$\text {suma de todas la variaciones de }P = \text {suma de todos los incrementos }p_x \Delta x$$

o en notación matemática

$$\int dP = \int p_x \,dx$$

y se establecen los límites de las sumas

$$\int_{P_1}^{P_2} dP = \int_{x_1}^{x_2} p_x \,dx$$

La integral de la izquierda, que es la variación total de $P$, se puede escribir inmediatamente como $\dst P_2 - P_1$. La integral de la derecha depende de el valor de la densidad $\dst p_x$ y mientras esta no se conozca no la puedes resolver

$$P_2 - P_1 = \int_{x_1}^{x_2} p_x \,dx$$

¿Vamos bien? OK, en tu caso el profesor está trabajando haciendo los siguientes supuestos:

- Todos los posibles valores de $x$ abarcan el rango $x=0$ hasta $x=L$.
- La probabilidad total es 1, es decir, si consideras todos los posibles valores de $x$.
- La probabilidad inicial es 0, es decir, no has considerado ningún valor de $x$ todavía.

Entonces, poniendo $\dst P_1 = 0\,,\,\, P_2 = P\,,\,\, x_1 = 0\,,\,\, x_2 = L$ te queda

$$P = \int_0^L p_x \,dx = 1$$

De allí en adelante ya lo sabes hacer. Si consideras que $p_x$ (en este caso en particular) es constante obtienes lo que escribiste en tu primer mensaje.

Saludos,

Al

[Metaleer]

Re: Ayuda a un novato que no sabe integrar

Entonces digamos que el resultado de integrar la función $\dst f_{(x)}$ es otra función, llamémosla $\dst F_{(x)}$:

$$\int f_{(x)}\,dx = F_{(x)}$$

Pues bien, la integral definida de $\dst f_{(x)}$ entre $\dst x_1$ y $\dst x_2$ vale

$$I = \int_{x_1}^{x_2} f_{(x)}\,dx = F_{(x_2)} - F_{(x_1)}$$

Hay que tener cuidado aquí, ya que si $f(x)$ presenta singularidades en el intervalo $[x_1, x_2]$, pueden ocurrir cosas extrañas. Por ejemplo, me propongo evaluar

$$\int_{-1}^1 \frac{dx}{x},$$

y digo

$$\int_{-1}^1 \frac{dx}{x} = \ln |1| - \ln |-1| = 0.$$

Pues no señor, porque se nos ha olvidado que la función a integrar no está definida en $x = 0$, punto que cae justamente en el centro del intervalo de integración. La forma correcta de intentar evaluar esta integral impropia es tomando límites de la siguiente manera:

$$\int_{-1}^1 \frac{dx}{x} = \int_{-1}^{0^-} \frac{dx}{x} + \int_{0^+}^1 \frac{dx}{x} = \lim_{h \rightarrow 0^-} \int_{-1}^{h} \frac{dx}{x} + \lim_{h \rightarrow 0^+}\int_{h}^1 \frac{dx}{x}.$$

Para la primera integral, tenemos que

$$\lim_{h \rightarrow 0^-} \int_{-1}^{h} \frac{dx}{x} = \lim_{h \rightarrow 0^-} (\ln |h| - \ln|-1|) = -\infty,$$

y para la segunda

$$\lim_{h \rightarrow 0^+}\int_{h}^1 \frac{dx}{x} = \lim_{h \rightarrow 0^+} (\ln |1| - \ln |h|) = \infty,$$

por tanto la integral no existe al no existir ninguna de las dos anteriores.

Sé que tú sabes esto, Al2000, pero como Dante está aprendiendo estas cosas, no viene mal que sepa cómo va el asunto de las integrales impropias, y qué puede ocurrir si hay singularidades en el intervalo de integración.

Saludos.

[Metaleer]

Re: Ayuda a un novato que no sabe integrar

He movido los mensajes correspondientes a un hilo nuevo, ya que tratan un tema algo distinto.