Divulgación ¿Por qué infinito menos infinito no es cero?

[natanael]

Hola Metaleer sé que esto no viene mucho al tema, pero hay alguna forma de demostrar que la indeterminacion $\infty - \infty$, sea diferente de cero, porque simpre me la pasaba peleando con los profesores que eso por lógica daba cero, por lo tanto las integrales eran las mismas.

"Esta edición es para aclarar que esta pregunta fue hecha en otra categoría del foro de física (por eso empieso mi pregunta dirigiendome a Metaleer), fue removida para calculo, por que el tema tomo otro camino"

[Bertu]

Re: Ayuda a un novato que no sabe integrar

No es por meterme ni nada, pero es lo mismo que uno elevado a infinito es 1¿? pero no es cierto. Ésto es por que cuando decimos que es una indeterminación de infinito menos infinito nunca sabemos lo que va a dar, por que las funciones crecen de una forma distinta. Me explico:

Si tenemos $\lim_{x \to 0} \frac{1}{ {x}^{ 2} } - \frac{1}{ x}$ esto da la indeterminación $\infty -\infty$ pero la primera función decrece mucho más rápido que la primera, por eso nunca sabemos a lo que va a dar, en si, un límite es ver que pasa con esa función cuando nos acercamos SIN LLEGAR a un determinado valor. Cuando el límite que puse antes tiende a 0 no sabemos que pasa... ya que se consideran los dos infinitos inifnitamente grandes, a pesar de que las funciones son distintas y decrecen de un modo distinto.

Lo mismo pasa para las indeterminaciones de ${1}^{\infty }$, se toma que una función tiende a 1 y la otra a $\infty$ pero las funciones son distintas y crecen de modos distintos, y por lo tanto ${1}^{ \infty }$ puede dar muchas cosas.

Perdón por la intromisión, y espero haberme explicado bien.

[Metaleer]

Re: Ayuda a un novato que no sabe integrar

Es que el infinito no es exactamente un número, y no puedes concluir que $\infty - \infty = 0$, de la misma manera que $\infty/\infty$ tampoco es igual a $1$. Lo que ocurre es que al escribir $\infty - \infty$ lo estamos escribiendo como si fueran dos números, y nos estamos olvidando que al escribir que un límite es infinito, eso tiene un significado concreto: aquí por ejemplo lo explican.

El otro razonamiento es que en la recta real extendida, es decir, $\mathbb{R} \cup \{-\infty,\infty\}$, a los dos símbolos $-\infty$ e $\infty$ se les asigna las propiedades de unos puntos especiales, por ejemplo, $a+\infty = \infty$, con $a \in \mathbb{R}$, pero cosas como $0 \cdot \infty$ no están definidas, y $\infty - \infty$ tampoco.

Saludos.

[natanael]

Re: Ayuda a un novato que no sabe integrar

Si tenemos $\lim_{x \to 0} \frac{1}{ {x}^{ 2} } - \frac{1}{ x}$ esto da la indeterminación $\infty -\infty$ pero la primera función decrece mucho más rápido que la primera, por eso nunca sabemos a lo que va a dar, en si

Hola Bertu, tienes razon, si por ejemplo $\dst \frac{1}{ {t}^{ 2} }$ y $\dst \frac{1}{ t}$ fueran funciones que describen la descargar de cierto condensador, o mas sencillo, la deshacelaracion de una objeto que nunca llega a cero, si las dos funciones estan con respecto al tiempo y en igual proporción para las dos, simpre habrá o un condensador mas cargado que otro o un movil que vá deshacelerado más que otro, en el supuesto caso que $t \to \infty$ para ambas funciones, fisicamente simpre habrá una diferencia entre ellas dada por la manera en que decrecen.

Pero ahora matematicamente la cosa cambia, por eso pregunto si tiene demostración que esa expresión $\infty - \infty$ sea diferente de cero, o mejor aun como los matematicos de la historia lleganron a la conclusión que eso era una ideterminacion?

[natanael]

Re: Ayuda a un novato que no sabe integrar

Es que el infinito no es exactamente un número, y no puedes concluir que $\infty - \infty = 0$

Pero idealmente, o mejor aun axiomaticamente no representan lo mismo?

Como decía un amigo: "bueno los simbolos no son iguales", con él nunca se podía hablar en serio, pero uno simpre puede apreciar su punto de vista!

[Bertu]

Re: Ayuda a un novato que no sabe integrar

Es que no puedes poner esa igualdad por que son símbolos, representan un valor muy grande, tanto que es inalcanzable. ¿Por que no es 0? Por que es sólo un concepto, se sabe que al final de toda la recta real las dos funciones llegan al mismo punto, el infinito, pero no quiere decir que lleguen igual.

Entonces, por ejemplo, el límite que he puesto la solución es $\infty$ ¿por que no es cero? por que si tu vas dando valores cada vez más próximos a 0; 0,0000000000000...01 te darás cuenta que la función representada cada vez adquiere valores mas altos, tendiendo a $+\infty$ . Y eso es por que las funciones, a pesar de que conceptualmente digamos que da infinito, se acercan de una manera u otra.

Edito diciendo que las indeterminaciones surgen de la incapacidad de poder dar un valor al límite, sea infinito o no, por medio del procedimiento habitual que es sustituir el valor al que tiende el límite en la función.

[Metaleer]

Re: Ayuda a un novato que no sabe integrar

Pero idealmente, o mejor aun axiomaticamente no representan lo mismo?

Como decía un amigo: "bueno los simbolos no son iguales", con él nunca se podía hablar en serio, pero uno simpre puede apreciar su punto de vista!

No, porque entre dos números reales debe poder existir la posibilidad de definir la resta. Como ves, no es el caso. Observa lo que dice la Wikipedia inglesa:

These new elements are not real numbers.

Si axiomáticamente representasen lo mismo, desde el punto de vista de la axiomática algebraica (operaciones), los reales y los "puntos" agregados $\infty$ e $-\infty$ deberían admitir una definición sin problemas de la suma y del producto, y como se ha puesto de manifiesto, no es el caso.

Saludos.

[angel relativamente]

Re: ¿Por qué infinito menos infinito no es cero?

Si te sirve esto de ayuda: Piensa, por ejemplo, en los números reales. Son infinitos. Y en los números pares e impares, que también son infinitos cada uno. Por tanto, podemos decir que si le restamos a los números reales los números pares no dará 0, sino otro tipo de infinito. (los impares). Pero curiosamente hay el mismo número de pares que de reales...

[natanael]

Re: ¿Por qué infinito menos infinito no es cero?

Tal vez la proxima respuesta que me den Metaleer o Bertu sea algo como: "Callate necio", pero por favor vean esta dos funciones, $\dst \left\vert{} \frac{1}{\left\vert{}x \right\vert{} } \right\vert{}$ , color rojo en la gráfica, y por supuesto, $\dst \frac{1}{x}$ , color verde, ahora las decrecen iguales en el primer cuadrante, y ambas tocan el eje "X" en $\infty$ y son lo suficientemente distintas como para anularse en la expresión $\dst \lim_{x \to \infty } \left\vert{} \frac{1}{\left\vert{}x \right\vert{} } \right\vert{} - \frac{1}{ x}$ , sé que el infinito debe su nombre a lo que en principio era "un ciclo repetitivo continuo" o "algo que nunca termina", pero suponiendo una aplicación física para estas funciones, en el supuesto caso que llegásemos al infinito, las dos funciones no lo harán en el mismo punto?, una integral $\dst \int_{{a}^{+ } }^\infty \left( \left\vert{} \frac{1}{\left\vert{}x \right\vert{} } \right\vert{} - \frac{1}{ x} \right) \dd x$ no daría cero?, esto no implicaría que los dos infinitos representarían lo mismo en el caso mas abstracto?

No, porque entre dos números reales debe poder existir la posibilidad de definir la resta.

Estoy consiente que la resta pueda no estar definida para el infinito por ser algo mas conceptual que numérico, pero en toría de conjuntos, el conjunto vacío es el número cero, y aquí la diferencia entre dos "cosas" si esta definida para cualquier expresión por muy abstracta que sea, por eso sigo con la necedad de que debe existir alguna demostracion para todas estas indeterminaciones, que por naturaleza son muy pero muy abstractas.

Sí solo tuviera el ADN de Euler, Gauss o Srinivasa Ramanujan, para cuando inventen la clonacion, para tener un par de estos tres como libritos de consulta!.

[natanael]

Re: ¿Por qué infinito menos infinito no es cero?

Si te sirve esto de ayuda: Piensa, por ejemplo, en los números reales. Son infinitos. Y en los números pares e impares, que también son infinitos cada uno. Por tanto, podemos decir que si le restamos a los números reales los números pares no dará 0, sino otro tipo de infinito. (los impares). Pero curiosamente hay el mismo número de pares que de reales...

Oye gracias por el punto de vista, es incrible como esto resume mucho parte de la respuesta lógica que esperaba , pero aun así sigo con mis ciertas duditas .

[Bertu]

Re: ¿Por qué infinito menos infinito no es cero?

Tal vez la proxima respuesta que me den Metaleer o Bertu sea algo como: "Callate necio", pero por favor vean esta dos funciones, $\dst \left\vert{} \frac{1}{\left\vert{}x \right\vert{} } \right\vert{}$ , color rojo en la gráfica, y por supuesto, $\dst \frac{1}{x}$ , color verde, ahora las decrecen iguales en el primer cuadrante, y ambas tocan el eje "X" en $\infty$ y son lo suficientemente distintas como para anularse en la expresión $\dst \lim_{x \to \infty } \left\vert{} \frac{1}{\left\vert{}x \right\vert{} } \right\vert{} - \frac{1}{ x}$ , sé que el infinito debe su nombre a lo que en principio era "un ciclo repetitivo continuo" o "algo que nunca termina", pero suponiendo una aplicación física para estas funciones, en el supuesto caso que llegásemos al infinito, las dos funciones no lo harán en el mismo punto?, una integral $\dst \int_{{a}^{+ } }^\infty \left( \left\vert{} \frac{1}{\left\vert{}x \right\vert{} } \right\vert{} - \frac{1}{ x} \right) \dd x$ no daría cero?, esto no implicaría que los dos infinitos representarían lo mismo en el caso mas abstracto?

El limite que tu pones ahí no da infinito menos infinito da 0-0=0. Ya que cualquier numero dividido entre infinito es cero. Así que el ejemplo de esas funciones no vale.
Y no eres un necio, las dudas están para preguntarlas, yo sé que no me explico muy bien pero hago lo que puedo.

Si tienes más dudas pregunta.

[Filum]

Re: ¿Por qué infinito menos infinito no es cero?

Es facil ver pq $\infty - \infty$ no tiene k ser nulo con un ejemplo:

Sabemos que $\lim_{x \to \infty} x = \infty$ y $\lim_{x \to \infty} x^2 = \infty$ asi si hacemos $\lim_{x \to \infty} x^2 - x$ tendia que ser 0 si asumimos que $\infty - \infty$ es 0 pero no es asi por lo tanto hay como minimo un ejemplo en el k $\infty - \infty \neq 0$

asi con este simple ejemplo podemos generar otros, por otro lado tb podemos pensar en ejemplos que si den infinito por eso se les llama indeterminados pq no tenemos una norma general.

[natanael]

Re: ¿Por qué infinito menos infinito no es cero?

El limite que tu pones ahí no da infinito menos infinito da 0-0=0. Ya que cualquier numero dividido entre infinito es cero. Así que el ejemplo de esas funciones no vale.

Upsss!, perdon tienes razon es que estaba escribiendo un poco apurado, porque pasa siempre que las posiciones de las respuestas no coinciden ordenadamente con las preguntas, porque simpre uno de nosotros responde primero, pero bueno me refería era cuando tiende a 0, $x\to 0$

[natanael]

Re: ¿Por qué infinito menos infinito no es cero?

Es facil ver pq $\infty - \infty$ no tiene k ser nulo con un ejemplo:

Sabemos que $\lim_{x \to \infty} x = \infty$ y $\lim_{x \to \infty} x^2 = \infty$ asi si hacemos $\lim_{x \to \infty} x^2 - x$ tendia que ser 0 si asumimos que $\infty - \infty$ es 0 pero no es asi por lo tanto hay como minimo un ejemplo en el k $\infty - \infty \neq 0$

asi con este simple ejemplo podemos generar otros, por otro lado tb podemos pensar en ejemplos que si den infinito por eso se les llama indeterminados pq no tenemos una norma general.

Hola, en realidad no entiendo bien cuando utilizas la letras pq, K o tb, será que puedes definirlos?, bien pordrías referirte a k=constante o k=que, cual de los dos?

[Dj_jara]

Re: ¿Por qué infinito menos infinito no es cero?

Upsss!, perdon tienes razon es que estaba escribiendo un poco apurado, porque pasa siempre que las posiciones de las respuestas no coinciden ordenadamente con las preguntas, porque simpre uno de nosotros responde primero, pero bueno me refería era cuando tiende a 0, $x\to 0$

Sigue sin tener límite 0, ya que los límites laterales no coinciden. Pero bueno aunque nos quedemos sólo en el lado en el que el límite es 0, eso realmente no importa nada para que sea una indeterminación en general, otra cosa es que cuando se tiene funciones concretas la indeterminación se puede resolver y en este caso es 0, pero no es complicado encontrar ejemplos donde f(x) -> oo , g(x) ->oo y f(x) -g(x) -> r donde r es cualquier número que quieras y también se puede encontrar sin problemas casos donde f(x)-g(x) ->oo