¿Por qué infinito menos infinito no es cero?

[Metaleer]

Re: ¿Por qué infinito menos infinito no es cero?

Sigue sin tener límite 0, ya que los límites laterales no coinciden. Pero bueno aunque nos quedemos sólo en el lado en el que el límite es 0, eso realmente no importa nada para que sea una indeterminación en general, otra cosa es que cuando se tiene funciones concretas la indeterminación se puede resolver y en este caso es 0, pero no es complicado encontrar ejemplos donde f(x) -> oo , g(x) ->oo y f(x) -g(x) -> r donde r es cualquier número que quieras y también se puede encontrar sin problemas casos donde f(x)-g(x) ->oo

Para ilustrar esto que has dicho, sólo tenemos que pensar en

$$\lim_{x \rightarrow \infty} \left(\sqrt{x^2 + ax} - x \right) = \infty - \infty = \{\text{se~resuelve~la~indeterminaci\'{o}n}\}= \frac{a}{2},$$

y como puedes ver, el valor del parámetro $a$ puede tomar cualquier valor real, que a su vez arroja un resultado distinto para cada elección de este parámetro.

Pero resolviendo la indeterminación en el siguiente límite, encontramos que

$$\lim_{x \rightarrow \infty} \left(\sqrt{2x^2 + x} - x \right) = \infty,$$

y por ejemplo

$$\lim_{x \rightarrow \infty} \left(\sqrt{2x^2 + x} - 2x \right) = -\infty,$$

por tanto, como puede dar cualquier cosa, no se puede concluir que da , o incluso cualquier otro valor, mire usted, depende del límite.

Conclusión, para dar respuesta a la pregunta "¿Por qué infinito menos infinito no es cero?", hay que tener en cuenta dos cosas:

1. Qué es el verdadero significado de que un límite dé $\infty$ ó $-\infty$.
2. Tener presente que no son números reales y no se les aplica las mismas reglas de la axiomática algebraica.

Saludos.

[supremoqwer]

Re: ¿Por qué infinito menos infinito no es cero?

Lo que pasa es que están mal interpretando el concepto de infinito, infinito no es un numero, sino una representación de un comportamiento, =significa que algo es enorme(infinitamente grande),=significa que algo es muy pequeño(infinitamente pequeño) . entonces se lee = algo infinitamente grande menos algo infinitamente pequeño es igual a infinito.

un extra a la repuesta.

[[Beto]]

Re: ¿Por qué infinito menos infinito no es cero?

Lo que pasa es que están mal interpretando el concepto de infinito, infinito no es un numero, sino una representación de un comportamiento, =significa que algo es enorme(infinitamente grande),=significa que algo es muy pequeño(infinitamente pequeño) . entonces se lee = algo infinitamente grande menos algo infinitamente pequeño es igual a infinito.

un extra a la repuesta.

Eso de infinitamente pequeño no está bien .... algo muy pequeño se entiende como un diferencial no como $-\infty$. Y tienes razón infinito no es un número y me parece que en ningún momento han dado a entender eso.

Un saludo.

[natanael]

Re: ¿Por qué infinito menos infinito no es cero?

=significa que algo es muy pequeño(infinitamente pequeño) . entonces se lee = algo infinitamente grande menos algo infinitamente pequeño es igual a infinito.

;127491] Y tienes razón infinito no es un número y me parece que en ningún momento han dado a entender eso.

los dos están infinitamente equivocados!

Ya Metaleer (¡que en paz descanse! ) mensionó que ...

Es que el infinito no es exactamente un número, y no puedes concluir que $\infty - \infty = 0$, de la misma manera que $\infty/\infty$ tampoco es igual a $1$..

infinito no es un número.

Por otro lado tenemos a Euler diciendo que ...

Si una cantidad no negativa fuera tan pequeña que resultara menor que cualquier otra dada, ciertamente no podría ser sino cero. A quienes preguntan qué es una cantidad infinitamente pequeña en matemáticas, nosotros respondemos que es, de hecho, cero. Así pues, no hay tantos misterios ocultos en este concepto como se suele creer. Esos supuestos misterios han convertido el cálculo de lo infinitamente pequeño en algo sospechoso para mucha gente. Las dudas que puedan quedar las resolveremos por completo en las páginas siguientes, donde explicaremos este cálculo.

Leonhard Euler

en resumen, algo infinitamente pequeño es... cero.

Aunque mensionas algo muy importante!, la palabra comportamiento. La operación $\infty -\infty$ al parecer carece de sentido en el ámbito de las matemáticas formales (es decir, matemáticas para gente bruta!), sin embargo siempre me ha llamado la atención lo que mensiona Bertu en el mensaje número 2 de este mismo hilo. Este compañero del foro se las trae... lo que dice tiene muschísimo sentido y yo creo que con ciertos criterios de convergencia o nó convergencia, se podría definir un resultado para $\infty -\infty$ y las demás "indeterminaciones".

[[Beto]]

Re: ¿Por qué infinito menos infinito no es cero?

en resumen, algo infinitamente pequeño es... cero.

Buen punto, yo imaginaba algo muy muy pequeño pero no tanto :P, lo pensaba más físicamente ya que con una regla yo no puedo medir algo que sea cero, siempre habrá una indeterminación ... pero ese no es el caso.

Por otro lado el resumen todo sería como bien dices que $\infty-\infty$ tendrá sentido o no dependiendo de que cosa representen esos infinitos, es decir de que expresión matemática se obtengan por lo tanto no siempre será lo mismo.

[natanael]

Re: ¿Por qué infinito menos infinito no es cero?

Hola [Beto], saludos!

El asunto roza lo filosófico! por eso jamás podrá entrar dentro de las matemáticas formales, sin embargo, hacer filosofía no debería ser un trabajo tan sucio!

Eso que imaginas ...

Buen punto, yo imaginaba algo muy muy pequeño pero no tanto :P, lo pensaba más físicamente ya que con una regla yo no puedo medir algo que sea cero, siempre habrá una indeterminación ... pero ese no es el caso.

también tiene mucho sentido!, Euler considera el vaso medio vacío, pero muy bien puede considerarse medio lleno, el cero también fué una abstracción en su tiempo, en cuanto a números naturales se discutía. Para mí cero y algo infinitamente pequeño serían lo mismo, pero jamás $-\infty$ como yo antes también solía creer, en fin... el tema es muy profundo, lo que se diga despues de estos ultimos mensajes, es cuestión de opiniones.

[abuelillo]

Re: ¿Por qué infinito menos infinito no es cero?

Hola Metaleer sé que esto no viene mucho al tema, pero hay alguna forma de demostrar que la indeterminacion $\infty - \infty$, sea diferente de cero, porque simpre me la pasaba peleando con los profesores que eso por lógica daba cero, por lo tanto las integrales eran las mismas.

Supongamos que infinito se puede manipular como cualquier numero real y que inf-inf=0, cual es el resultado de:

inf + inf - inf = ?

Por un lado:

(inf + inf) - inf = inf - inf = 0

Pero si aplico propiedad asociativa, sale:

inf + (inf - inf) = inf + 0 = inf

Asi que tenemos un problema la propiedad asociativa no se cumple, el conjunto de numeros que usamos no puede ser un Cuerpo.
Puedes definir que inf-inf sea 0, y montarte un sistema propio basado en eso sin propiedad asociativa, pero tendras que redefinir todas las operaciones y propiedades, y a saber si lo que sale es consistente y tiene alguna utilidad o no.

[carroza]

Re: ¿Por qué infinito menos infinito no es cero?

Supongamos que infinito se puede manipular como cualquier numero real y que inf-inf=0, cual es el resultado de:

inf + inf - inf = ?

Por un lado:

(inf + inf) - inf = inf - inf = 0

Pero si aplico propiedad asociativa, sale:

inf + (inf - inf) = inf + 0 = inf

Asi que tenemos un problema la propiedad asociativa no se cumple, el conjunto de numeros que usamos no puede ser un Cuerpo.
Puedes definir que inf-inf sea 0, y montarte un sistema propio basado en eso sin propiedad asociativa, pero tendras que redefinir todas las operaciones y propiedades, y a saber si lo que sale es consistente y tiene alguna utilidad o no.

Hola.

El problema con el infinito comienza antes. Si tomamos, por ejemplo, el conjunto de los enteros, con la suma, y le incluimos un nuevo elemento, llamado $\infty$, tal que
$1+ \infty = \infty$. (1)
Haciendo esta adición, podemos mantener las propiedades asociativa, conmutativa, ley interna y elemento neutro de la suma. Por tanto, los enteros, con el $\infty$, forman una estructura llamada Monoide, pero no un grupo.


No obstante, elemento $\infty$ no tiene inverso. No puede definirse un elemento, llamado $-\infty$, tal que

$\infty + (-\infty) = 0$. (2)

Esto es así, porque atendiendo a la propiedad (1), sumando $-\infty$ a la derecha y utilizando la propiedad asociativa, con la propiedad (2) tendriamos que
$1=0$, lo cual es una contradicción .

Así que, como dice abuelillo, podemos introducir el infinito si queremos, pero a costa de cargarnos el inverso (con lo que no tenemos estructura de grupo), o, aun peor, cargarnos la propiedad asociativa, con lo que no tenemos nada razonable.

[reti]

Re: ¿Por qué infinito menos infinito no es cero?

Quizas pudiera entenderse el asunto del infinito de una forma algo mas clara si pensamos que el simbolo $\infty$ no puede en realidad representar o asociarse a un unico numero. Todos los problemas y contradicciones vienen entonces de que, en segun que caso, se esta utilizando un valor distinto para el mismo simbolo:

Hola.

El problema con el infinito comienza antes. Si tomamos, por ejemplo, el conjunto de los enteros, con la suma, y le incluimos un nuevo elemento, llamado $\infty$, tal que
$1+ \infty = \infty$. (1)
Haciendo esta adición, podemos mantener las propiedades asociativa, conmutativa, ley interna y elemento neutro de la suma. Por tanto, los enteros, con el $\infty$, forman una estructura llamada Monoide, pero no un grupo.

Esto que digo se ve claro en la expresion: $1+ \infty = \infty$
que restando "1" a ambos miembros se obtiene: $\infty = -1+\infty$

con lo que tengo dos definiciones de infinito y dos valores distintos de infinito. El problema puede resolverse sin ningun problema si se definen infinitos infinitos pero numerables con la siguiente expresion:

${\infty}_{1 }={\infty}_{0 }+1$

que se generaliza de manera inductiva a

${\infty}_{n+1 }={\infty}_{n }+1$

y donde queda por decir que expresion o valor tiene ${\infty}_{0 }$. Creo que es coherente y que tiene dos ventajas:

1) El cuerpo de los enteros sigue siendo un cuerpo.
2) El numero de numeros enteros sigue siendo infinito numerable, o sea que no hay mas numeros en el nuevo cuerpo de los enteros.

...
Así que, como dice abuelillo, podemos introducir el infinito si queremos, pero a costa de cargarnos el inverso (con lo que no tenemos estructura de grupo), o, aun peor, cargarnos la propiedad asociativa, con lo que no tenemos nada razonable.

Y por supuesto no hay ningun problema en definir un inverso para la suma:

${\infty}_{n}-{\infty}_{n} = 0$

demostracion:

${\infty}_{n }={\infty}_{0 }+n$
${\infty}_{n }-{\infty}_{n }={\infty}_{0 } -{\infty}_{0 }=0$

[carroza]

Re: ¿Por qué infinito menos infinito no es cero?

Quizas pudiera entenderse el asunto del infinito de una forma algo mas clara si pensamos que el simbolo $\infty$ no puede en realidad representar o asociarse a un unico numero. Todos los problemas y contradicciones vienen entonces de que, en segun que caso, se esta utilizando un valor distinto para el mismo simbolo:

Esto que digo se ve claro en la expresion: $1+ \infty = \infty$
que restando "1" a ambos miembros se obtiene: $\infty = -1+\infty$

con lo que tengo dos definiciones de infinito y dos valores distintos de infinito. El problema puede resolverse sin ningun problema si se definen infinitos infinitos pero numerables con la siguiente expresion:

${\infty}_{1 }={\infty}_{0 }+1$

que se generaliza de manera inductiva a

${\infty}_{n+1 }={\infty}_{n }+1$

y donde queda por decir que expresion o valor tiene ${\infty}_{0 }$. Creo que es coherente y que tiene dos ventajas:

1) El cuerpo de los enteros sigue siendo un cuerpo.
2) El numero de numeros enteros sigue siendo infinito numerable, o sea que no hay mas numeros en el nuevo cuerpo de los enteros.




Y por supuesto no hay ningun problema en definir un inverso para la suma:

${\infty}_{n}-{\infty}_{n} = 0$

demostracion:

${\infty}_{n }={\infty}_{0 }+n$
${\infty}_{n }-{\infty}_{n }={\infty}_{0 } +{\infty}_{0 }=0$

Hola. Buen intento.

Pero cuánto vale $\infty_0 + (-1)$?


Si me dices $\infty_{-1}$, te diré que estás duplicando, o mejor triplicando, los números enteros.

Saludos

[pod]

Re: ¿Por qué infinito menos infinito no es cero?

1) El cuerpo de los enteros sigue siendo un cuerpo.
2) El numero de numeros enteros sigue siendo infinito numerable, o sea que no hay mas numeros en el nuevo cuerpo de los enteros.

Los enteros jamás han sido un cuerpo, ya que no existe elemento inverso para la multiplicación, lo que es un requisito de la definición de cuerpo. Quizá quiso usted decir anillo.

[reti]

Re: ¿Por qué infinito menos infinito no es cero?

Lo de el cuerpo ha sido un error inducido por un comentario anterior. Gracias por la aclaracion, "pod", ya que efectivamente no se trata del "cuerpo de los enteros" si no del "anillo de los enteros".

Hola. Buen intento.

Pero cuánto vale $\infty_0 + (-1)$?


Si me dices $\infty_{-1}$, te diré que estás duplicando, o mejor triplicando, los números enteros.

Saludos

Creo que es totalmente coherente decir que ${\infty}_{0 }+(-1)={\infty}_{ -1}$ y que por aqui no va a venir ninguna contradiccion logica relativa a la suma y tampoco relacionada con el orden (porque estos infinitos quedan ordenados). El unico problema es que no se ha definido que vale ${\infty}_{0 }$ y esto pienso que es necesario hacerlo. Creo que es evidente que no puede definirse mediante los propios numeros enteros sin recurrir a una definicion "conceptual" como por ejemplo:

" El numero ${\infty}_{0 }= 2N$ ,es decir, dos veces el cardinal que representa al tamaño de los numeros naturales"

definicion que dificilmente es operativa. Hay que definir antes la multiplicacion y la division en los enteros, lo que nos lleva a los numeros racionales, (que esta vez creo que si que se trata de un cuerpo). Si estamos en el cuerpo de los racionales, ademas de la definicion inductiva para obtener todos los numeros infinitos, es necesaria una definicion operativa de ${\infty}_{0 }$. Yo me apunto a esta:

${\infty}_{ 0}= 2 \frac{1}{0 }$

que no estoy muy seguro que no de lugar a contradiciones. Ademas, si la definicion es buena, entonces se puede afirmar que el cardinal N de los numeros naturales vale $\frac{1}{0 }$. Tambien puede afirmarse que el cardinal de los numeros enteros E es $E=2 \frac{1}{0 }= {\infty}_{ 0}$

¿Hay alguien que pueda encontrar alguna contradiccion a los numeros infinitos, los llamados "numeros retinianos", tal como se han definido?




Aclaracion: "los numeros retinianos" son aquellos numeros que solo existen gracias al fenomeno de persistencia de la vision en la retina

[pod]

Re: ¿Por qué infinito menos infinito no es cero?

" El numero ${\infty}_{0 }= 2N$ ,es decir, dos veces el cardinal que representa al tamaño de los numeros naturales"

Es fácil demostrar que un conjunto que tenga "el doble de elementos" que los números naturales es, a su vez, isomorfo a los números naturales.

Veamoslo con un ejemplo. Sea el conjunto

$$A = \Big\{ (n, m) \Big| n\in\mathbb{N},\ m\in\{0,1\}\Big\} .$$

Por construcción, es obvio que este conjunto tiene el doble de elementos que los números naturales. Ahora bien, yo puedo montar el siguiente isomorfismo:

$$\begin{array}{ccc}<br /> A & \longrightarrow & \mathbb{N} \\<br /> (n, m) & \mapsto & 2 n - m .<br /> \end{array}$$

Es sencillo demostrar que esta aplicación es inyectiva y exhaustiva. Este isomorfismo demuestra que $A \cong \mathbb{N}$, y por lo tanto $|A| = |\mathbb{N}|$.

Por lo tanto, no tiene ningún sentido que definas un número como "el doble del cardinal de los números enteros". Porque el doble del cardinal de los números enteros es igual al cardinal de los números enteros.

Nótese que haciendo isomorfismos de esta forma es posible demostrar que tanto los números enteros como los racionales tienen exactamente la misma cantidad de elementos. La demostración con los racionales es un poco más complicada, pero la puedes encontrar en cualquier libro.

En lugar de intentar inventarnos una notación nueva, quizá deberíamos leer los trabajos de Cantor sobre los números transfinitos...

[carroza]

Re: ¿Por qué infinito menos infinito no es cero?

¿Hay alguien que pueda encontrar alguna contradiccion a los numeros infinitos, los llamados "numeros retinianos", tal como se han definido?




Aclaracion: "los numeros retinianos" son aquellos numeros que solo existen gracias al fenomeno de persistencia de la vision en la retina

OK, entro al trapo.

Los números retinianos se definen como un grupo con la suma (dejemos por lo pronto el producto fuera), que contienen los enteros, y alguna representación del infinito, en la línea de $\infty_n = \infty_0 + n$.

Por lo pronto, necesitamos el conjunto Z de los enteros, y un conjunto isomorfo a Z, que llamamos $Z(\infty)$, compuesto por los $\infty_n$.

Por otro lado, como el conjunto forma grupo, cada elemento necesita un inverso con la suma. En concreto, $\infty_0$
necesita un inverso, que no está entre los números de Z ni de $Z(\infty)$. Llamemos a ese nuevo número $-\infty_0$. A partir de este número, generamos por el procedimiento de inducción retiniana otro conjunto de números infinitos $-\infty_n$, que forman otro conjunto isomorfo a Z que llamamos $Z(-\infty)$.

Pero la cosa no queda aquí. El número $\infty_0 + \infty_0$ debe estar en el conjunto (ya que para un grupo la suma es una ley de composición interna), pero no puede ser ninguno de los números anteriores, por lo cual tenemos que introducir otro elemento, llamado $(2\cdot\infty)_0$, que a su vez genera por inducción retiniana otro conjunto $(2\cdot\infty)_n$, que llamamos $Z(2\cdot \infty)$.

Y así indefinidamente, debemos añadir otros conjuntos $Z(3 \cdot \infty)$, $Z(4 \cdot \infty)$, etc.


En resumen, el conjunto de números retinianos es isomorfo a un número infinito de conjuntos de números infinitos.


A estas alturas, como indica Pod, puede ser un buen momento para leer los trabajos sobre el infinito hechos por Cantor y otros. Hay muchos libros buenos divulgativos sobre el tema "Satan, Cantor y el infinito", de Smullyman, es uno de ellos.

Saludos

[reti]

Re: ¿Por qué infinito menos infinito no es cero?

Lo primero decir que no estoy tratando de atribuirme "la invencion de nada". Seguramente lo que estoy exponiendo es muy posible que lleve hecho ya mucho tiempo con otro nombre y con otra notacion. Disculpas si es asi, pero tambien deseo señalar que los numeros retinianos nada tienen que ver con los transinfinitos de Cantor.

Es fácil demostrar que un conjunto que tenga "el doble de elementos" que los números naturales es, a su vez, isomorfo a los números naturales.

Veamoslo con un ejemplo. Sea el conjunto

$$A = \Big\{ (n, m) \Big| n\in\mathbb{N},\ m\in\{0,1\}\Big\} .$$

Por construcción, es obvio que este conjunto tiene el doble de elementos que los números naturales. Ahora bien, yo puedo montar el siguiente isomorfismo:

$$\begin{array}{ccc}<br /> A & \longrightarrow & \mathbb{N} \\<br /> (n, m) & \mapsto & 2 n - m .<br /> \end{array}$$

Es sencillo demostrar que esta aplicación es inyectiva y exhaustiva. Este isomorfismo demuestra que $A \cong \mathbb{N}$, y por lo tanto $|A| = |\mathbb{N}|$.

Por lo tanto, no tiene ningún sentido que definas un número como "el doble del cardinal de los números enteros". Porque el doble del cardinal de los números enteros es igual al cardinal de los números enteros.

Nótese que haciendo isomorfismos de esta forma es posible demostrar que tanto los números enteros como los racionales tienen exactamente la misma cantidad de elementos. La demostración con los racionales es un poco más complicada, pero la puedes encontrar en cualquier libro.

En lugar de intentar inventarnos una notación nueva, quizá deberíamos leer los trabajos de Cantor sobre los números transfinitos...

Reconozco mi error. Me he dejado llevar por la definicion del cardinal que asigna un valor al tamaño de los naturales al estilo de Cantor, cosa que en mi opinion no tiene ningun sentido, ya que dichos numeros o cardinales estan definidos como aplicaciones biyectivas pero no puede definirse un "algebra" con ellos.

(Mas adelante, despues de responer a "carroza", sistematizo y defino los numeros retinianos sin ambiguedades)

OK, entro al trapo.

Los números retinianos se definen como un grupo con la suma (dejemos por lo pronto el producto fuera), que contienen los enteros, y alguna representación del infinito, en la línea de .

Por lo pronto, necesitamos el conjunto Z de los enteros, y un conjunto isomorfo a Z, que llamamos , compuesto por los .

Por otro lado, como el conjunto forma grupo, cada elemento necesita un inverso con la suma. En concreto,
necesita un inverso, que no está entre los números de Z ni de . Llamemos a ese nuevo número . A partir de este número, generamos por el procedimiento de inducción retiniana otro conjunto de números infinitos , que forman otro conjunto isomorfo a Z que llamamos .

Pero la cosa no queda aquí. El número debe estar en el conjunto (ya que para un grupo la suma es una ley de composición interna), pero no puede ser ninguno de los números anteriores, por lo cual tenemos que introducir otro elemento, llamado , que a su vez genera por inducción retiniana otro conjunto , que llamamos .

Y así indefinidamente, debemos añadir otros conjuntos , , etc.


En resumen, el conjunto de números retinianos es isomorfo a un número infinito de conjuntos de números infinitos.


A estas alturas, como indica Pod, puede ser un buen momento para leer los trabajos sobre el infinito hechos por Cantor y otros. Hay muchos libros buenos divulgativos sobre el tema "Satan, Cantor y el infinito", de Smullyman, es uno de ellos.

Saludos

No muestras ninguna contradiccion en el algebra de los numeros retinianos. Ademas, como ya he comentado, Cantor define los transfinitos con cardinales asociados al tamaños de los elementos de ciertos conjuntos de numeros pero no construye un algebra con ellos, ni tampoco indica que relacion tienen con los naturales los enteros o los racionales.
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Empecemos desde el principio:


DEFINICION DEL CONJUNTO Y ALGEBRA DE LOS NUMEROS RETINIANOS :

Dado el conjunto y algebra de los numeros racionales se define el infinito primigenio ( ${\infty}_{0 }$ ) como aquel elemento, ya existente en el conjunto de los racionales (pero ignorado), dado por:

${\infty}_{0 }= \frac{1}{0 }$

A nadie se le escapa que este elemento siempre ha estado dentro del conjunto de los racionales y que no me lo estoy inventando yo. A nadie se le escapa que nunca nadie ha hecho nada con el ecepto ignorarlo.



Definicion o asignacion de nombre a los numeros retinianos :

Como elemento que es de los numeros racionales ${\infty}_{0 }$, genera o define nuevos numeros mediante su suma y multiplicacion con el resto de los elementos que forman el conjunto de los numeros racionales. A ciertos numeros de entre todos esos nuevos numeros los nombramos o representamos con un simbolo especial y asi, definimos con el simbolo ${\infty}_{n }$ a aquellos numeros retinianos que se crean mediante la suma reiterada del "1" de los racionales con el infinito primigenio:

${\infty}_{ n+1}=1+{\infty}_{n }$

${\infty}_{n }=n+{\infty}_{0 }$

Queda claro que con la operacion suma del ${\infty}_{0 }$ con cualquier racional $\frac{a}{ b}$ puede "nombrarse" otros retinianos

${\infty}_{ \frac{a}{b }}= \frac{a}{b }+{\infty}_{0 }$

Propiedades:

1) El elemento "0" sigue siendo el neutro para la suma en el conjunto de los retinianos "r".
2) El elemento "1" sigue siendo el elemento neutro para la multiplicacion en el conjunto de los retinianos "r".
3) No hay ningun problema para definir el inverso de un nunero retiniano cualquiera, cosa que se hace mediante la ecuacion algebraica siguiente:

$\forall {\infty}_{\frac{a}{b } } \in "r" \text{ }\to \text{ } {{\infty}_{\frac{a}{ b} }}^{ -1}{\infty}_{\frac{a}{ b} }=1$

4) El producto de cualquier retiniano por "0" es "0": ${\infty}_{ \frac{a}{ b}}0 = 0$.
5) El producto de cualquier racional $\frac{c}{d }$ por cualquier retiniano ${\infty}_{ \frac{a}{ b}}$ queda bien definido:

$\frac{c}{ d} ({\infty}_{\frac{a}{ b} }) = \frac{c}{d } (\frac{a}{ b} + {\infty}_{ 0}) = \frac{ca}{ db}+ \frac{c}{d } {\infty}_{ 0}$

6) Las indefiniciones usuales del conjunto de los racionales quedan muy bien dfinidas. Asi:

$\frac{n}{0 }= n \text{ }{\infty}_{0 }$
$\frac{0}{0 }= 0$
${\infty}_{ \frac{a}{ b}} \text{ }0 = 0$

En fin, que la cosa marcha y el conjunto de los retinianos, "r", esta bien definido. Lo interesante de todo esto es darse cuenta que un "infinto retiniano" cualquiera no es ni un racional ni un real, si no que son numeros nuevos y que puede demostrarse que ...


" ... para cualquier racional (o real si se amplia el conjunto) existe un conjunto infinto de numeros retinianos que estan mas proximos a el que cualquier otro racional ( o real), no habiendo ningun racional ( o real) que pueda meterse entre los elementos de dicho conjunto ..."


(yo a este teorema lo llamo "teorema de inmersion profunda" de los retinianos en los racionales o en los reales)