1r ciclo Resolver la siguiente ecuación?

[skinner]

¡Buenas! Intentando resolver un sistema de ecuaciones con funciones trigonométricas, he llegado a la siguiente expresión:

$$\frac{1+{b}^{2}-{a}^{2}+2b }{1+{b}^{2}-{a}^{2}-2b } = \frac{2+\sqrt{3} }{2-\sqrt{3} } , \left\{a=cos(x)cos(y); b=sen(x)sen(y)\right\}$$

¿Alguien es capaz de decirme como resolver la ecuación en términos de x e y? ¿O simplemente en términos de a y b?

El sistema de ecuaciones inicial es:

$$sen(x) + sen(y) = \frac{\sqrt{3}+1 }{2 }$$

$$sen(x)-sen(y) = \frac{\sqrt{3}-1 }{2 }$$

Y lo que hice fue:

1º Desarrollar la suma de senos de ángulos x e y

2º Dividir las dos ecuaciones, miembro a miembro

3º Desarrollar un cociente de tangentes de ángulo medio que me queda en el miembro izquierdo

4º Multiplicar y cambiar variable (para que no se haga tan pesado)

Y es el 5º paso donde me quedo atascado :P

¡Un saludo y muchas gracias!

PD: Me interesa más saber si mi método es viable (aunque sea extremadamente complejo) que saber otro método, aunque en el caso de que este no fuera muy bueno o hubiese otro mucho más simple, agradecería que me lo dijeran. Más que nada porque en el examen hubiese hecho esto que pongo arriba... jeje

¡Gracias de nuevo!

[Risu]

Re: Resolver la siguiente ecuación?

Ummm... o no he entendido lo que tienes que hacer (resolver el sistema que das -el original-) o me parece que has entendido mal el ejercicio.

Dices que el sistema inicial es:
$\sin (x) + \sin(y) = \frac{1+\sqrt{3} }{2}$

$\sin (x) - \sin(y) = \frac{\sqrt{3}-1 }{2}$

Y que hay que resolverlo (encontrar un valor para x e y que satisfaga las ecuaciones).
Entonces no tienes más que sumar ambas ecuaciones, quedándote una muy sencillita en función de x, dónde puedas resolver x (seno de x y es más fácil) y llevarlo a la otra ecuación, obteniendo y.

Dime a ver que te queda y contrastamos.

Un saludo

[GNzcuber]

Re: Resolver la siguiente ecuación?

Hola skinner,

Lo que puedes usar son las fórmulas prostaferéticas:

$$\dst \sin(x)+\sin(y)=2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$$

Como te podrás imaginar son cuatro, dos con senos, suma y resta, y dos con cosenos, suma y resta. Te demostraré una y las otras las deduces tú, ya que su demostración es idéntica:

Tenemos

$$\dst \sin(x)+\sin(y)$$

Haremos una relación arbitraria, como por ejemplo $\dst x=A+B$ y $\dst y=A-B$, luego tenemos una suma y diferencia en el argumento de las funciones por lo tanto lo podemos desarrollar:

$$\dst \sin(A+B)+\sin(A-B)=$$

$$\dst =\sin(A)\cos(B)+\cos(A)\sin(B)+\sin(A)\cos(B)-\cos(A)\sin(B)=2\sin(A)\cos(B)$$

Ahora hallemos cuánto vale A y B, en función de x e y. Para ello simplemente creamos un sistema de ecuaciones con las relaciones arbitrarias que establecimos:

$$\dst \left.\begin{aligned}A+B=x\\A-B=y\end{aligned}\right\} A=\frac{x+y}{2},\,\,\, B=\frac{x-y}{2}$$

Sustituimos:

$$\dst \sin(x)+\sin(y)=2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$$

Luego, vamos con tu sistema de ecuaciónes trigonométrica:

$$\dst \left.\begin{aligned}\sin(x)+\sin(y)=\frac{\sqrt{3}+1}{2}\\ \sin(x)-\sin(y)=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\end{aligned}\right\}$$

Por cierto, he ido a saco pensando en las prostaferéticas (sí, no me había dado cuenta ni que era un sistema de ecuaciones hasta que llegué a él :P), y si sumas ambas ecuaciones tienes:

$$\dst \sin(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \left\{\begin{aligned}x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\\ x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\end{aligned}\right.$$

Y restando obtendrás el otro:

$$\dst \sin(y)=\frac{1}{2}\Rightarrow \left\{\begin{aligned}y=\frac{\pi}{6}+2k\pi\\ y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\end{aligned}\right.$$

Bueno, no borraré lo de las prostaferéticas por si te sirve para otras cosas.

¡Saludos!

[carmelo]

Re: Resolver la siguiente ecuación?

Hola:
Lo mas sencillo es proceder como sigue:
Sumando ambas ecuaciones se tiene:
$2\sin x=\sqrt3\qquad \Rightarrow x=\arcsin\dst\frac{\sqrt3}{ 2}\qquad \Rightarrow \boxed{x=\dst\frac\pi3+2n\pi}$
Restando se tiene:
$2\sin y=1\qquad \Rightarrow y=\arcsin\dst\frac12\qquad \Rightarrow \boxed{y=\dst\frac\pi6+2n\pi}$

Saludos
Carmelo

[skinner]

Re: Resolver la siguiente ecuación?

Gracias a los tres, jeje... No me fijé que sumando los miembros tendría algo tan sencillo, por eso usé las formulas prostaferéticas como apuntó GNZcuber

¡¡Un saludo!!

[Risu]

Re: Resolver la siguiente ecuación?

Carmelo, te faltan las soluciones para los ángulos del segundo cuadrante