1r ciclo Resolver una ecuación con raíces complejas

[skinner]

Buenas, tengo la siguiente ecuación:

$z^4-2z^2+4=0$

Despejando $z^2$ obtengo:

$$z^2=1\pm i\sqrt{3}$$

Hasta ahí todo bien. Ahora, para despejar z, tengo que hacer la raíz cuadrada de (1) en ambos lados de la ecuación, quedándome:

$z= \pm \sqrt{1\pm i\sqrt{3}}$

Y de aquí obtengo 8 soluciones:

$$\sqrt{2}\cdot exp( i\frac{\pi}{6} )$$

$$\sqrt{2}\cdot exp( i\frac{7\pi}{6} )$$

$$\sqrt{2}\cdot exp( -i\frac{\pi}{6} )$$

$$\sqrt{2}\cdot exp( -i\frac{7\pi}{6} )$$

$$-\sqrt{2}\cdot exp( i\frac{\pi}{6} )$$

$$-\sqrt{2}\cdot exp( i\frac{7\pi}{6} )$$

$$-\sqrt{2}\cdot exp( -i\frac{\pi}{6} )$$

$$-\sqrt{2}\cdot exp( -i\frac{7\pi}{6} )$$

Pero es que el libro dice que sólo hay 4 soluciones... y me dice que son:

$$\frac{\sqrt{6}}{2}\pm \frac{\sqrt{2}}{2}i$$

$$-\frac{\sqrt{6}}{2}\pm \frac{\sqrt{2}}{2}i$$

¿En qué he fallado?

Un saludo y mil gracias!

[GNzcuber]

Re: Resolver una ecuación con raíces complejas

¿Cómo has calculado tus raíces? Quiero ver el método que has usado. Por otra parte ya podías ver que habían sólo cuatro raíces, y es que se ve claramente que: $\dst z=\sqrt{1+i\cdot\sqrt{3}},\,\, z=\sqrt{1-i\sqrt{3}},\,\, z=-\sqrt{1+i\sqrt{3}},\,\, z=-\sqrt{1-i\sqrt{3}}$.

Para llegar a las soluciones del libro debes usar la notación polar $\dst (\rho,\theta)$, donde rho es el módulo, y theta el argumento, por lo tanto, siendo z=a+b·i:

$$\dst \rho=a^2+b^2,\,\, \theta=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)$$

Para desambiguación del argumento puedes usar también que $\dst \cos(\theta)=\frac{a}{\rho},\,\, \sin(\theta)=\frac{b}{\rho}$.

Luego, de la fórmula de Moivre [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , con ello supongo que puedes ver que dado un número complejo, si lo pasas a su forma polar ($\dst s_{\beta}$), sus raíces serán:

$$\dst r_{\alpha}=\left\{\begin{aligned}r=\sqrt[n]{s}\\ \alpha=\frac{\beta+2k\pi}{n}\, rad,\quad k=0,1,...,n-1.\end{aligned}\right.$$

¡Saludos!

[skinner]

Re: Resolver una ecuación con raíces complejas

GNZcuber, te adjunto el folio donde resolví el problema, lo rodeé en rojo para que no haya confusiones. Perdona la caligrafía



Un saludo! y gracias

[pod]

Re: Resolver una ecuación con raíces complejas

$$\sqrt{2}\cdot exp( i\frac{\pi}{6} )$$

$$\sqrt{2}\cdot exp( i\frac{7\pi}{6} )$$

$$\sqrt{2}\cdot exp( -i\frac{\pi}{6} )$$

$$\sqrt{2}\cdot exp( -i\frac{7\pi}{6} )$$

$$-\sqrt{2}\cdot exp( i\frac{\pi}{6} )$$

$$-\sqrt{2}\cdot exp( i\frac{7\pi}{6} )$$

$$-\sqrt{2}\cdot exp( -i\frac{\pi}{6} )$$

$$-\sqrt{2}\cdot exp( -i\frac{7\pi}{6} )$$

Tienes todas las soluciones duplicadas. Por ejemplo,

$$\sqrt2 \exp\left( i \frac\pi6\right) = -\sqrt2 \exp\left( i \frac{7\pi}6 \right) .$$

Para que no te pase eso, sigue las siguientes reglas: nunca pongas un signo negativo delante de una exponencial compleja, conviertelo a $-1 = \eee{i\pi}$,

$$- \exp\left( i \frac{7\pi}6 \right) = \exp\left( i \frac{7\pi}6 + i \pi\right) = \exp\left( i \frac{13\pi}6 \right).$$

Que el argumento de la exponencial siempre esté entre 0 y $2\pi$. Recuerda que puedes sumar y restar $2\pi i$ a la exponencial tantas veces como quieras,

$$\exp\left( i \frac{13\pi}6 \right) = \exp\left( i \frac{\pi}6 \right)$$

$$\exp\left( - i \frac\pi6 \right) = \exp\left( i \frac{11\pi}6 \right)$$

[skinner]

Re: Resolver una ecuación con raíces complejas

Muchas gracias a los dos, ha sido de gran utilidad