1r ciclo Funciones y limites

[volduck]

Buenas a todos vosotros.Tengo un ejercicio que no sé como atacarlo.Es el siguiente:

"$Probar que si f es continua en [a,\infty ) y \lim_{x \to \infty} f (x) es finito, entonces f es acotada en [a,\infty )$ .
¿Alcanza siempre f su valor máximo en dicho intervalo?"

¿Cómo lo responderíais matemáticamente?


Un saludo.

[pod]

Re: Funciones y limites

Prueba a hacer una demostración reduciendo al absurdo. Es decir, haz la suposición que la función no es acotada, y demuestra que eso lleva a una contradicción con las hipótesis.

[Albertotti]

Re: Funciones y limites

Teorema de los valores intermedios (buscando en el baul de los recuerdos...): dice que una función continua en [a,b], toma todos los valores entre f(a) y f(b). En tu caso la tienes continua en [a,inf), luego solo quedaría la posibilidad de que estuviera desacotada (es decir, con valor infinito o inexistente) en infinito. Como ya te dicen que el límite existe y es finito, la función es acotada.

La respuesta sobre el valor máximo de f es que SI, por el teorema de Weierstrass: "Si una función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b], entonces la función alcanza su máximo absoluto y su mínimo absoluto en el intervalo.

[volduck]

Re: Funciones y limites

Muchas gracias.No conocía el teorema de Weierstrass.Lo de la reducción al absurdo, gracias por la propuesta.

[carmelo]

Re: Funciones y limites

Hola:

Discrepo con que la función necesariamente alcanza su máximo en ese intervalo (Ten en cuenta que el intervalo es abierto y no podes aplicar ese teorema).

Contraejemplo:
Considera la función $f(x)=\arctan(x)$ en el intervalo $[0,+\infty )$, veras que no tiene máximo.

Saludos
Carmelo

[Albertotti]

Re: Funciones y limites

En este caso el máximo se alcanza en el límite cuando la función tiende a infinito. De todos modos el problema original pregunta si la función es acotada en el intervalo

[carmelo]

Re: Funciones y limites

Hola:
No te confundas, que la función tenga el límite L no significa que tome ese valor. Tampoco confundas lo que es un máximo con lo que es el supremo. Estudia un poco mas el contraejemplo que te presenté y ya verás.

Saludos
Carmelo

[Albertotti]

Re: Funciones y limites

La aplicación de los teoremas que he hecho no es matemáticamete rigurosa, eso lo se.
Lo que me pide el problema original es si la función está acotada. Un máximo es un supremo, aunque un supremo no tenga por qué ser un máximo. En el caso de la función que me presentas, efectivamente, no tiene máximo, pero está perfectamente acotada entre 0 y pi/2
Saludos

[carmelo]

Re: Funciones y limites

Hola:
En la primera parte del ejercicio estamos de acuerdo, yo me refería a lo siguiente.

¿Alcanza siempre f su valor máximo en dicho intervalo?"

para lo cual tu respuesta fue:

La respuesta sobre el valor máximo de f es que SI, por el teorema de Weierstrass: "Si una función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b], entonces la función alcanza su máximo absoluto y su mínimo absoluto en el intervalo.

y para lo cual mi respuesta fue:

Discrepo con que la función necesariamente alcanza su máximo en ese intervalo (Ten en cuenta que el intervalo es abierto y no podes aplicar ese teorema).

Espero que quede claro lo que quiero decir.

Saludos
Carmelo

[Albertotti]

Re: Funciones y limites

Meridianamente...
segunda cagada en menos de una semana :P