Olimpiada Olimpiadas de Matemáticas

[hennin]

Calcula los ceros que hay entre la última cifra (unidades) y la anterior del siguiente número:

2009^2011

[pod]

Re: Olimpiadas de Matemáticas

Pues a lo mejor se me escapa algo porque la respuesta que doy es muy sencillo, pero diría que ninguno. Un número impar elevado a una potencia impar da un número impar, y un número impar no termina en cero; así que entre las unidades y la anterior cifra no cero no hay ninguna.

[hennin]

Re: Olimpiadas de Matemáticas

Yo puse algo parecido, pero hay demostración matemática (que es esa la que quiero encontrar). Gracias de todas formas.

[pod]

Re: Olimpiadas de Matemáticas

Yo puse algo parecido, pero hay demostración matemática (que es esa la que quiero encontrar). Gracias de todas formas.

Esa es una demostración matemática. ¿Qué más quieres? ¿Demostrar que un numero impar elevado a otro impar sigue siendo impar? Es muy sencillo hacerlo.

[hennin]

Re: Olimpiadas de Matemáticas

Pod, todos los ejercicios de las olimpiadas se pueden resolver matemáticamente (por congruencias o lo que sea). Y ese resultado es el que puntúa sobre 7 (máxima nota de un ejercicio).

[pod]

Re: Olimpiadas de Matemáticas

Y ese resultado es el que puntúa sobre 7 (máxima nota de un ejercicio).

¿Y porqué cuentas eso?

Pod, todos los ejercicios de las olimpiadas se pueden resolver matemáticamente (por congruencias o lo que sea).

La demostración que hemos hecho es matemática. Que no use palabros raros no significa que no sea matemática.

Si quieres más detalle, puedes hacer la demostración de las potencias impares usando inducción. Podemos empezar por elevar al cubo (la primera potencia impar no trivial)

$$(2 n + 1)^3 = 2 ( 4 n^3 + 6n^2 + 3n) + 1$$

Lo de dentro del paréntesis es un número natural, así que el resultado es impar por fuerza. Esta parte está demostrada.

Ahora, la hipótesis de inducción para una potencia impar general; suponemos que se cumple

$$(2n + 1)^{2m+1} = 2p + 1$$

donde $p$ es un número natural. Ahora, usando esto, demostramos que también es impar la potencia $m \to m+1$,

$$\begin{aligned}<br /> (2n + 1)^{2m+3} & = (2n + 1)^{2m+1} (2n+1)^2 \\<br /> & = (2p + 1)(4n^2 + 4n + 1) \\<br /> & = 2p (4n^2 + 4n + 1) + 4(n^2+n) + 1 . <br /> \end{aligned}$$

o sea

$$(2n + 1)^{2m+3} = 2 \big[p (4n^2 + 4n + 1) + 2(n^2+n)\big] + 1 .$$

Lo de dentro del corchete es un número natural, así que el resultado es impar, lo que completa la demostración deseada.

PD: Aunque podrías demostrar algo mucho más sencillo: el producto de dos números impares es impar. Por lo que cualquier potencia (par o impar) de un número impar sigue siendo impar.

[hennin]

Re: Olimpiadas de Matemáticas

No te pedía que demuestres eso, sino lo de los ceros posibles que vayan a quedar. Según el licenciado en Matemáticas, se resolvía por el método o teorema de Sidney (no sé si lo dijo de broma pero los profesores de institutos se quedaron igual de atónitos).

Y lo de sobre 7, lo decía porque valoran muchísimo más que lo demuestres con mates que con palabras (aunque signifiquen lo mismo).

[hennin]

Re: Olimpiadas de Matemáticas

Además, el razonamiento que comentaste es incorrecto "Un número impar elevado a una potencia impar da un número impar"

Pues, 2009^11= 2151688031850482966727300968217881609

Hay un cero.

[hennin]

Re: Olimpiadas de Matemáticas

Acabo de ver que el resultado es que obtendremos un cero:

2009^2011= 196179128420022830153903325515456616197739762166699425182102960868100829047034306100775686856535576341956947776278024202561866085686036864618755301222 632206121973386190211036559796787250930630707045445244340914385632684650981284173724038881688703097035811123205508170017901625675961268898688383696066 494543926259762808514065115247272293114479885250955101898101829987278373688615417410691953378215452724552969588914509116511493584301889601400767825074 556052822996352217538655794826238653782037250082407801139461003590838545864800721426861044697503044480461730626808334376132326178052969677197774362822 105311292422582447147548739963872253039349697353156042229487266835563323182185007937092769424300007501075138254932272660529192980339785817968769384333 238666555555519783228334233171452310106458094287872917820200935790557236908867055559986204142349327248637920692120968857224724124958600163581261685131 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[hennin]

Re: Olimpiadas de Matemáticas

Ahora toca saber cómo hallar esto sin necesidad de llevar a cabo dicha operación.

[pod]

Re: Olimpiadas de Matemáticas

Hombre, esa cifra termina en 9. Así que entre la cifra de unidades y la primera cifra no nula no hay ninguna, porque la cifra de unidades no es nula.

[arreldepi]

Re: Olimpiadas de Matemáticas

Hm, puede que se refiera a cuántos ceros hay entre las unidades y la siguiente cifra diferente de 0? En cuyo caso la respuesta sería 1, pero cómo puede saberse eso sin más xD.

[hennin]

Re: Olimpiadas de Matemáticas

Pod, yo entiendo por: "Calcula los ceros que hay entre la última cifra (unidades) y la anterior del siguiente número" lo que ha dicho arreldepi.

Como ya escribí, 2009^2011= 1..........609.

Entre la última cifra de unidades (9) y la anterior diferente de cero (6) hay un cero.

[hennin]

Re: Olimpiadas de Matemáticas

Cuando escribí "del siguiente número" me refiero al que me da el enunciado.

[pod]

Re: Olimpiadas de Matemáticas

Hm, puede que se refiera a cuántos ceros hay entre las unidades y la siguiente cifra diferente de 0? En cuyo caso la respuesta sería 1, pero cómo puede saberse eso sin más xD.

Es posible... pero entonces, henin, ya podrías haber dicho que desde la primera respuesta estaba yo resolviendo un problema diferente al que tocaba, en vez de marear la perdiz con que la demostración no era "matemática". Aish...