Olimpiadas de Matemáticas

[hennin]

Re: Olimpiadas de Matemáticas

Me dí cuenta hiciste la demostración matemática, y no antes. Disculpa.

[Raul]

Re: Olimpiadas de Matemáticas

Hola Hennin, creo que la solución a tu problema es una cuestión de demostrar que las terminaciones (ultimas 3 cifras) de cualquier potencia de 2009 son ciclicas. Si buscas las primeras nueve potencias (no hace falta hacer el calculo completo), verás como las terminaciones se empiezan a repetir:
2009^1 = 2009
2009^2 = ..081
2009^3 = ..729
2009^4 = ..561
2009^5 = ..049
2009^6 = ..321
2009^7 = ..889
2009^8 = ..001
2009^9 = ..009
2009^10 = ..081
2009^11 = ..729
Como ves se repiten y se repetirán por siempre las primeras 8 terminaciones de 3 dígitos. Esto se debe a la forma que tiene el número 2009 y nuestra forma clásica de hacer las multiplicaciones, es decir los 2 ceros de 2009 no aportarán nada a los dígitos de unidad, decena y centena, solo será de aplicación el 9 para esas 3 cifras.
Como según el problema lo tenemos que hacer 2011 veces lo que hacemos es dividir 2011 entre 8 y nos sale 251 con un resto de 3, lo que nos dice que nuestro número (2009^2011) debería terminar en 729 y por tanto la respuesta sería ninguno.
No se de donde has sacado el resultado anterior que nos has dado pero revísalo porque no me aparece ninguna terminación en 609, quizás yo esté confundido pero me inclino mas a creer que es tu cálculo el que no está bien.
Espero que te sea de ayuda. Si crees que mi razonamiento no está bien dimelo.

[Jakost]

Re: Olimpiadas de Matemáticas

Hennin que programa has usado para llegar al resultado de [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ?

[pod]

Re: Olimpiadas de Matemáticas

Según wolfram alpha (hay que darle unas cuantas veces a "more digits") acaba en 609. Click aquí para ver el número completo.

[Raul]

Re: Olimpiadas de Matemáticas

Pues tendré algo mal en los cálculos pero yo no lo veo y el razonamiento me parece el correcto.

Pod no se si has mirado el argumento que yo daba, pero me fío mas de los razonamientos que de la capacidad de cálculo de una maquina diseñada y programada para según que cosas.

Un saludo

[pod]

Re: Olimpiadas de Matemáticas

Pues tendré algo mal en los cálculos pero yo no lo veo y el razonamiento me parece el correcto.

Pod no se si has mirado el argumento que yo daba, pero me fío mas de los razonamientos que de la capacidad de cálculo de una maquina diseñada y programada para según que cosas.

Un saludo

Para empezar, la tabla que has puesto parece estar mal. 2009^6 = 65747557034369119441, termina en 441. A partir de ahí todas parecen estar mal. Me parece que al multiplicar te has olvidado de "llevarte" las decenas (y ademas, 4*9 = 36, no 32).

A parte de eso, probablemente tu razonamiento esté bien, ya que 2009^11 acaba en 609. Ahora bien, este método en general no sirve. ¿Y si nos hubiera dado, por ejemplo, 009? No podríamos saber si delante hay más ceros o no.

[_L_]

Re: Olimpiadas de Matemáticas

para estos calculos el phyton lo mejor ^_^

[Raul]

Re: Olimpiadas de Matemáticas

Estoy de acuerdo Pod, estaba mal en esa terminación, pero si hay que resolverlo en la olimpiada matemática tiene que existir un modo de demostrarlo sin recurrir al wolfram alpha, he seguido calculando pero no encuentro en que punto se repite (solo lo he extendido hasta 40 terminaciones), de todos modos como mucho puede haber 1000 terminaciones y luego se tienen que repetir si o si.
Esta es la única forma que se me ocurre de resolverlo, aunque como dices si la terminación es 00x no se podría resolver así, pero me parece un buen intento a falta de otro camino.
Un saludo

[Dj_jara]

Re: Olimpiadas de Matemáticas

$2009^{2011} = (2000 + 9)^{2011} =\sum_{k=0}^{2011} \left ( \dfrac{2011}{k} \right ) 2000^{2011-k} 9^k$ con la fracción quiero indicar el binomio que no me acordaba como ponerlo bien

si k!= 2011 todos los términos llevan como mínimo tres 000 (debido al 2000, aunque en general llevaran más)

así que lo interesante es estudiar 9^2011

pero sabemos que
9^1 = 9
9^2 = 81
9^3 = 729
9^4 = 6561
9^5 = 59049
9^6 = 531441
9^7 = 4782969
9^8 = 43046721
9^9 = 387420489
9^10 = 3486784401


que en notación de congruencias habría quedado mejor, pero no se exactamente el nivel de la olimpiada, pero sino empiezo a poner ya congruencias quedara muy farragoso , 9^10 = 1 mod 100

así que miramos 2011 = 2010 + 1, 9^2011 = 9^2010 * 9 = 9 mod 100 con lo que tendríamos que sus dos últimas cifras son 09

así que tenemos que mirar mod 1000

nos acordamos de nuestro amigo (o enemigo) Euler y calculamos su phi(1000) = 400

2011 = 2000 + 11 = 20*400 + 11 (lo desgloso así por si alguien no lo ve inmediato)

así que necesitamos 9^11 = 31381059609 = 609 mod 1000

todos los otros términos del binomio de Newton son 0 mod 1000 debido al 2000


P.D. ya es la segunda vez que lo edito por que lo he escrito medio dormido y hay cosas del latex que han salido mal, pero lo importante es la idea.

[Raul]

Re: Olimpiadas de Matemáticas

Elegante Dj_jara, esa es la forma de analizarlo, sin duda. Las olimpiadas matemáticas son para alumn@s de instituto (hasta 2º bachillerato) creo, al menos así era cuando yo estudiaba. Tengo mi duda que en esos niveles de estudio conozcan el desarrollo de (a+b)^n, pero sin duda es el método adecuado. Gracias por esta explicación.

[hennin]

Re: Olimpiadas de Matemáticas

Sí es neceserio saber congruencias para la Olimpiada.

Jakost y Raul, he utilizado el derive. Acaba en 609.

[angel relativamente]

Re: Olimpiadas de Matemáticas

Perdonad que reviva este hilo, pero viendo las soluciones a las fases locales de las olimpiadas matemáticas he encontrado la solución a este ejercicio. Es el problema 1.3 , si alguien se dignara, viendo la explicación, desarrollarlo mejor se agradecería. Parece que les cobren un dineral por cada palabra a los que suben las soluciones de los problemas de olimpiada...

[carmelo]

Re: Olimpiadas de Matemáticas

Hola:

La primera expresión surge de aplicar el binomio de Newton.

Luego ten en cuenta que $-202085391=-202085000-391=-202085000-1000+609=-1000K^{\prime\prime}+609$

Luego obtenes que $K^\prime=K-K^{\prime\prime}$

Si surge alguna duda, pregunta.

Saludos
Carmelo