Divulgación Operadores y operaciones locas?

[natanael]

Estas son varias dudas que tengo...

1) Miren éste desarrollo:

$\dst W_{12}=\int_1^2\vec{F}\dd \vec{s}=\int_1^2\frac{\dd \vec{P}}{\dd t}\dd \vec{s}=\int_1^2m\frac{\dd \vec{v}}{\dd t}\dd \vec{s}=\int_1^2m\frac{\dd \vec{v}}{\dd t}\vec{v}\dd t=\frac{m}{2}\int_1^2\frac{\dd \vec{v}^2}{\dd t}\dd t=\frac{1}{2}m\left(v_2^2-v_1^2\right)$

Sé que $\dst W_{12}=\int_1^2\vec{F}\dd \vec{s}$ lleva el producto escalar así $\dst W_{12}=\int_1^2\vec{F}\cdot\dd \vec{s}$, pero me lo he comido en el desarrollo porque de donde saqué el desarrollo no lo colocan y no sabría ponerlo a medida que se vá desarrollando la expresión ( si alguien pudira copiarla pero con sus respectivos productos escalares, le agradecería muchísimo); realmente hay muchas cosas nuevas para mí en el desarrollo, pero quiero enfatizar en 3 cositas:

1.1) Cómo $\dst m\frac{\dd \vec{v}}{\dd t}\vec{v}$ puede ser igual a $\dst \frac{m}{2}\frac{\dd \vec{v}^2}{\dd t}$

1.2) Si $\dst \frac{m}{2}\int_1^2\frac{\dd \vec{v}^2}{\dd t}\dd t=\frac{1}{2}m\left(v_2^2-v_1^2\right)$, entonces quiere decir que los $\dst \dd t$ se simplifican como fraciones, es decir $\dst \frac{\dd x}{\dd t}\dd t=\dd x \frac{\dd t}{\dd t}=\dd x$?

1.3) Y se pudiera hacer esto entonces, $\dst \int \dd \left(x^2+x+1\right)=x^2+x+1+C$ ó $\dst \int \left(x^2+x+1\right)^3\dd \left( x^2+x+1\right)=\frac{\left(x^2+x+1\right)^4}{4}+C$

2) Que significa éste operador $\dst \Box^2$, sólo sé que es igual a $\nabla^2+\kappa^2$, pero como se llama?, alguna pagina o libro que me puedan recomendar?

3) Y otra preguntita, que funcion cumple el delta de Kronecker en las ecuaciones vectoriales, por ejemplo: en una ecuación vectorial de la magnetohidrodinámica hay un termino así: $\dst \frac{1}{2}\boldsymbol{H}^2\delta_{ik}$ y en la misma expresión aparece multiplicado por un escalar así $\dst \phi\delta_{ik}$ donde $\dst \phi$ era un simbolo más raro que no encontré en ningún lado pero bueno $\dst \phi$ sirve para darme a entender, la prgunta es: $\dst \boldsymbol{H}^2=\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{H}$?

Gracias de antemano.

[kyubirr]

Re: Operadores y operaciones locas?

hola te respondo a las preguntas que se xD
1.1) lo que hace es integrar v por eso aparece v^2 y la masa es dividida por 2
1.2)si, los dt se simplifican, aunque es una cosa que se hace pero que, por lo que tengo entendido, a los matematicos no les gusta mucho, porque no es muy riguroso. Pero es correcto
1.3) la primera cosa que has puesto esta bien la segunda no. Es simplemente ver que como son la integral y la derivada operadores que se oponen pues se anulan, pero vamos tambien puedes derivar la expresion e integrarla y te sale lo mismo. creo que eso ha sido lo que has intentado en la segunda parte pero esta mal derivada. seria la integral de (2xdx+dx) y el 1+C lo puedes agrupar todo en una constante
En el 2, el operador no le puedo ver asi que no se xD
En la 3 no entiendo muy bien la pregunta, supongo que la delta de Kronecker si sabes lo que es, es decir, si i=k da 1, y si es distinto da 0

[Al2000]

Re: Operadores y operaciones locas?

...
1.3) Y se pudiera hacer esto entonces, $\dst \int \dd \left(x^2+x+1\right)=x^2+x+1+C$ ó $\dst \int \left(x^2+x+1\right)^3\dd \left( x^2+x+1\right)=\frac{\left(x^2+x+1\right)^4}{4}+C$
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1.3) la primera cosa que has puesto esta bien la segunda no. Es simplemente ver que como son la integral y la derivada operadores que se oponen pues se anulan, pero vamos tambien puedes derivar la expresion e integrarla y te sale lo mismo. creo que eso ha sido lo que has intentado en la segunda parte pero esta mal derivada. seria la integral de (2xdx+dx) y el 1+C lo puedes agrupar todo en una constante
...

Te equivocas, ambas integrales son correctas. Simplemente haz el cambio $u = x^2 + x + 1$.

hidromagnetismo, ese tipo de operaciones es bastante frecuente. Todavía recuerdo la primera vez que mi profesora de Física resolviendo un problema hizo directamente el cálculo

$$\int \mathrm {sen} \, x \cos x\, dx = \frac 1 2 \, \mathrm {sen} ^2 x$$

y ante la pregunta de los alumnos se detuvo a indicarnos que lo que había hecho fue

$$\int \mathrm {sen} \, x \cos x\, dx = \int \mathrm {sen} \, x\, d(\mathrm {sen} \, x) = \frac 1 2 \, \mathrm {sen} ^2 x$$

Fue todo un descubrimiento para mi.

Respecto a tu primerita pregunta, dices que quitaste el producto escalar... entonces no deberías poner las cantidades como vectores. Si mantienes el producto escalar, la operación sería

$$<br /> \begin{aligned}<br /> W_{12} &=\int_1^2\vec{F} \cdot \dd \vec{s}=\int_1^2\frac{\dd \vec{P}}{\dd t} \cdot \dd \vec{s}=\int_1^2m\frac{\dd \vec{v}}{\dd t} \cdot \dd \vec{s}=\int_1^2m\frac{\dd \vec{v}}{\dd t} \cdot \vec{v}\dd t \\ \\<br /> &=\frac{m}{2}\int_1^2\frac{\dd (\vec{v} \cdot \vec v)}{\dd t}\dd t=\frac{m}{2}\int_1^2\frac{\dd (v^2)}{\dd t}\dd t=\frac{m}{2}\int_1^2\ \dd (v^2)=\frac{1}{2}m\left(v_2^2-v_1^2\right) <br /> \end{aligned}$$

Saludos,

Al

[natanael]

Re: Operadores y operaciones locas?

Gracias Al, pero aún me queda la duda en este paso:

$\dst \int_1^2m\frac{\dd \vec{v}}{\dd t} \cdot \vec{v}\dd t=\frac{m}{2}\int_1^2\frac{\dd (\vec{v} \cdot \vec v)}{\dd t}\dd t$

Disculpa es que no logro ver de donde sale el $\dst \frac{1}{2}$

Si se integrara como dice kyubirr:

1.1) lo que hace es integrar v por eso aparece v^2 y la masa es dividida por 2

Entonces porque no desaparece la integral en los siguientes pasos?

[Al2000]

Re: Operadores y operaciones locas?

$d(\vec v \cdot \vec v) = d \vec v \cdot v + \vec v \cdot d \vec v = 2 \vec v \cdot d \vec v$

Saludos,

Al

[JCuquejo]

Re: Operadores y operaciones locas?

Hola Hidromagnetismo

Al2000 te ha explicado correctamente 1.1). Lo repito yo con una notación igual a la que tienes en las integrales que pones:

$$\frac{d\vec{v}^2}{dt} = \frac{d(\vec{v} \cdot \vec{v})}{dt} = \left( \mbox{Regla de la cadena para} \cdot \right) =$$

$$=\frac{d\vec{v}}{dt} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \frac{d\vec{v}}{dt} = \left( \mbox{Prod. escalar conmut.} \right) = 2\frac{d\vec{v}}{dt} \cdot \vec{v}$$

de donde:

$$\frac{d\vec{v}^2}{dt} =2\frac{d\vec{v}}{dt} \cdot \vec{v} \Longrightarrow \frac{1}{2} \frac{d\vec{v}^2}{dt} = \frac{d\vec{v}}{dt} \cdot \vec{v}$$

Con respecto a 2), el cuadrado, o el cuadrado elevado a 2, se denomina D'Alambertiano en teoría clásica de campos (y, por extensión, en cuántica de campos). Lo que pasa es que vale:

$$<br /> \frac{\partial }{\partial t}^2 - \nabla^2<br />$$

y no lo que comentas. Tienes más datos aquí: Wikipedia.

Finalmente, con respecto a 3), una delta de Dirac en una expresión, podía servir para dos cosas: en una sumatoria de múltiples índices, indica que sólo los sumandos con i=k persisten. La segunda cosa, que es la que se te aplica, es que se trata de la función generalizada Delta de Dirac, que tiene bastantes propiedades curiosas al usarse con operadores integrales. Reconozco que ya no recuerdo bien para qué se suele utilizar en física.

Con respecto a lo que comentas, creo que $H^2$ sería aplicar H dos veces más que hacer un producto, pero ahí me falla la memoria; lo estudié hace muchos años y no he vuelto a tocar los operadores integrales, los espacios de Hilbert y todo aquello tan interesante

Espero haberte ayudado. Un saludo.

Juan.

[pod]

Re: Operadores y operaciones locas?

entonces quiere decir que los $\dst \dd t$ se simplifican como fraciones

No es que se simplifiquen, es que la integral es la operación opuesta a la derivada (excepto constantes y eso). Si integras y derivas, te quedas igual. Y, en este caso, como la integral es definida, tienes que aplicar los límites.

Precisamente, la gracia de la notación de diferenciales es que propiedades como esta tienen la "apariencia" de relaciones algebraicas normales, como la simplificación de fracciones que comentas. Pero solo es una apariencia, hay que demostrarlas.

2) Que significa éste operador $\dst \Box^2$, sólo sé que es igual a $\nabla^2+\kappa^2$, pero como se llama?, alguna pagina o libro que me puedan recomendar

Se llama d'alambertiana (de D'Alambert). Es la generalización del laplaciano a cuatro dimensiones, incluyendo una derivada sobre el tiempo. En este caso, parece que la parte temporal da derivada constante e igual a $k^2$.

3) Y otra preguntita, que funcion cumple el delta de Kronecker en las ecuaciones vectoriales, por ejemplo: en una ecuación vectorial de la magnetohidrodinámica hay un termino así: $\dst \frac{1}{2}\boldsymbol{H}^2\delta_{ik}$ y en la misma expresión aparece multiplicado por un escalar así $\dst \phi\delta_{ik}$ donde $\dst \phi$ era un simbolo más raro que no encontré en ningún lado pero bueno $\dst \phi$ sirve para darme a entender, la prgunta es: $\dst \boldsymbol{H}^2=\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{H}$?

Gracias de antemano.

La delta de Kronecker es equivalente a la matriz unidad. Si está multiplicando a algo que no tiene indices, entonces el resultado se puede interpretar con una matriz diagonal, donde todos los valores de la diagonal son iguales entre si.

[natanael]

Re: Operadores y operaciones locas?

s*(Mucha+gracia), que locura!, en la escuela, cuando tenía solo 6 años, me dijeron que eso era solo una figura geométrica llamada cuadrado .

Saludos.