Secundaria Diferencial de arco

[Blasco]

Hola amigos, estaba resolviendo unos cálculos y me ha surgido una duda.
Tengo que utilizar un diferencial de arco para definir un diferencial de superficie en una esfera y por razones del problema me gustaría utilizar el parámetro "beta" en vez del parámetro "alfa"
Puede sacrame alguien de esta duda.
Se que la primera expresión de la figura adjunta es correcta, ya que arco es el ángulo por el radio, pero sería valido utilizar la segunda expresión? No estoy seguro si sería una aproximación que daría el mismo resultado en el cálculo de una integral.

Muchas gracias por vuestra ayuda.

[arivasm]

Re: Diferencial de arco

En mi opinión la respuesta es que no es correcta. Si consideramos el triángulo formado por O, ds y el centro de la circunferencia, aplicando el teorema del seno tenemos que $\frac{\sin (\pi -\alpha )}{L}=\frac{\sin \alpha}{L}=\frac{\sin \beta }{R}$. Diferenciando tenemos que $R \dd \alpha =\frac{\cos \beta }{\cos \alpha }L \dd \beta$

[Blasco]

Re: Diferencial de arco

Muchas gracias arivasm, evidentemente no son iguales, de todas formas creo que hay que tener cuidado al diferenciar pues L no es una constante sino una función de $\alpha y \beta$
Incluso siendo diferentes, me surgió la duda de cuando se pueden sustituir y cuando nó.
Es como cuando queremos calcular el area bajo una curva y sustituimos el diferencial del arco por dx (no se si me explico). Evidentemente no son iguales pero el error cometido tiende a cero y no afecta al area bajo la curva. Realmente estoy intentando razonar cuando es posible sustituirlos y cuando nó.
Intuyo que f(x)dx siendo diferente de f(x)ds pueden intercambiarse en el caso de cálculo de areas. Creo que porque el error cometido tiende a cero.

Gracias de nuevo.

[arivasm]

Re: Diferencial de arco

Tienes razón con la dependencia de L, por lo que mi respuesta no es completamente válida. De todos modos, al diferenciar L aparecerá un sumando que hace que la expresión aún sea más diferente. De todos modos, voy a pensarlo algo más.

Saludos!

[pod]

Re: Diferencial de arco

¿Habéis probado a calcular el Jacobiano del cambio de coordenadas?

[arivasm]

Re: Diferencial de arco

Seguro que pod ha señalado el camino realmente claro y directo, con su llamada de atención sobre el cálculo del jacobiano, que si no me equivoco es R/L (pero mi falta de frescura en esos conocimientos no me permite ver más allá de la duda que me surge porque no sea la unidad).

Yo me he centrado en resolver el error del diferencial en mi entrada anterior. Lo recojo por si sirve de algo, aunque me temo que no sirva de mucho, pues está claro que el problema de Blasco necesita de otro enfoque diferente del que yo le di.

Llamaré D a la distancia entre O y el centro de la circunferencia (que denotaré por C). Si tomamos O como origen de coordenadas cartesianas, tenemos que (por cierto, éstas son las expresiones de las que partí para encontrar el jacobiano)

$\begin{aligned}<br /> & x=L \cos \beta = D + R \cos \alpha \\<br /> & y = L \sin \beta = R \sin \alpha<br /> \end{aligned}$

De aquí seguimos que

$\dd s^2 = \dd L^2 + L^2 \dd \beta^2 = R^2 \dd \alpha^2$.

Como L y $\beta$ no son independientes podemos relacionarlos aplicando el teorema del coseno al triángulo formado por O, C y el elemento de circunferencia, $R^2 = L^2 + D^2 - 2 L D \cos \beta$. Diferenciando esta expresión tenemos que $\dd L= {{D \sin \beta}\over{D \cos \beta - L}}L \dd \beta$. Llevándola a la expresión para $\dd s^2$ tenemos que $\dd s^2 = {{R^2}\over {(D \cos \beta - L)^2}} L^2 \dd\beta^2$

A la vista de este resultado, mi ignorancia me llevaría a recelar mucho de la posibilidad de integrar prescindiendo del factor que precede a $L \dd \beta$. Pero, en fin.

Como veis, mi aporte es más de buena voluntad que de verdadera resolución de la cuestión.

Saludos!

[pod]

Re: Diferencial de arco

Este tipo de integrales de línea siempre se hace de la siguiente forma: primero hay que escribir x e y en función de un sólo parámetro. Por ejemplo, en el sistema polar desde el centro del circulo sólo tenemos el parámetro $\alpha$ únicamente, r es una constante.

En el caso de L y $\beta$, tenemos que elegir cual de las dos variables usamos como parámetro. Fijáos que elegir $\beta$ tiene un grave problema, y es que la recta con $\beta$ constante cruza dos veces el circulo, así que habría que dividir la integral en dos en un ángulo $\beta$ que será algo difícil de calcular. Lo más fácil es elegir L como parámetro. Aún habrá falta dividir en dos la integral (parte de arriba y la de abajo), pero eso es bastante más sencillo.

Ahora, lo que debemos hacer es escribir el ángulo $\beta$ en función de L. Podemos hacerlo mediante el teorema del coseno, como apuntaba arivasm,

$$R^2 = L^2 + D^2 - L D \cos\beta \Longrightarrow \beta = \arccos \left( \dfrac{ L^2 + D^2 - R^2 }{ 2 L D } \right) .$$

Esa una expresión bastante horrorosa, pero bueno, eso nos pasa por elegir un sistema de coordenadas descentrado. Ahora ya podemos calcular el diferencial de arco,

$$\dd s^2 = \dd x^2 + \dd y^2 = \left[ \left( \frac{\dd x}{\dd L} \right)^{\!\!2} + \left( \frac{\dd y}{\dd L} \right)^{\!\!2} \right] \dd L .$$

O, lo que es lo mismo,

$$\dd s^2 = \dd L^2 + L^2 \dd\beta^2 = \dd L^2 \left[ 1 +L^2 \left( \frac{\dd \beta}{\dd L} \right)^{\!\!2} \right] .$$

Probablemente podréis continuar desde aquí.

[Blasco]

Re: Diferencial de arco

Muchisimas gracias arivasm y pod por vuestra ayuda.
Ciertamente no me expliqué bastante bién en mi pregunta original, no pretendía saber si ambos diferenciales eran idénticos, evidentemente
no son iguales como queda claro en vuestras exposiciones.
Mis dudas iban mas bien encaminadas a si podría utilizar un arco en vez del otro en una integral y obtener los mismos resultados.
La conclusión que he llegado por el momento es que depende (y me explico).
Si lo que quisiera calcular es la longitud de la circumferencia, evidentemente no puedo sustituir ambos arcos pues cometería un error importante,
pero si quisiese calcular por ejemplo un area, la situación sería diferente y si podríamos hacer el intercambio.
En la figura adjunta trato de explicarme con un ejemplo similar para el cálculo del area bajo una curva, en este caso puedo intercambiar dx por ds
ya que el error cometido es despreciable por ser un infinitésimo de orden superior (ver figura), si por el contrario quisiesemos calcular la longitud del arco
el intercambio de ds por dx no sería correcto.
Ipod, en tu exposición has dado de lleno en el tipo de problemas que me estaba encontrando al integrar y lo complicadas que me salen las expresiones,
las cuales se me simplifican bastante con el cambio mencionado. (No creo que venga al caso entrar en detalles de la integral).
Por si es de vuestro interés aquí os dejo un enlace donde se plantea una integral similar a la que estoy realizando.
http://knol.google.com/k/on-pushing-gravity#

Muchas gracias de nuevo.