1r ciclo Demostración

[warmetal]

Hola, tengo que deducir lo siguiente y no sé cómo.
Deducir que dado x perteneciente a (1, e) existe un y perteneciente a (e,1) tal que x^ y = y^ x.

Gracias!

[pod]

Re: Demostración

El intervalo (e, 1) no existe; el primer número no puede ser superior al segundo.

¿Quieres decir que y pertenece a (1, e)? Si es así, entonces la demostración es trivial ya que puedes escoger x = y. Supongo que en realidad quieres decir otra cosa, así que por favor revisa el enunciado (y si puedes poner un título más descriptivo, mejor).

[arivasm]

Re: Demostración

Aunque tiene razón pod, imagino que te refieres a que y pertenece al intervalo que va desde e hasta infinito. Si tomas logaritmos en la igualdad (seguro que ya lo has hecho), tienes que la condición es que $\ln x/x = \ln y/y$, con $x\neq y$, lo que significa que la ecuación $\ln x/x = k$, donde k es una constante (que, de acuerdo con el enunciado, estará en el intervalo $(0,1)$) tiene dos soluciones, una de ellas en el intervalo $(1,e)$ y la otra en el $(e,\infty)$. Mi propuesta es que pienses del siguiente modo: hay que demostrar que las gráficas de las funciones $\ln x$ y $k x$ se cortarán en dos puntos siempre y cuando $0<k<1$. Si lo dibujas verás inmediatamente por dónde van los tiros (una ayuda es ver en qué caso la ecuación tendrá sólo una solución y a partir de ahí razonar cuando tendrá dos o ninguna).

[warmetal]

Re: Demostración

Mañana intento revisar el enunciado y vuelvo a subirlo. Gracias de todas formas a pod y a arivasm!

[pod]

Re: Demostración

Aunque tiene razón pod, imagino que te refieres a que y pertenece al intervalo que va desde e hasta infinito. Si tomas logaritmos en la igualdad (seguro que ya lo has hecho), tienes que la condición es que $\ln x/x = \ln y/y$, con $x\neq y$, lo que significa que la ecuación $\ln x/x = k$, donde k es una constante (que, de acuerdo con el enunciado, estará en el intervalo $(0,1)$) tiene dos soluciones, una de ellas en el intervalo $(1,e)$ y la otra en el $(e,\infty)$. Mi propuesta es que pienses del siguiente modo: hay que demostrar que las gráficas de las funciones $\ln x$ y $k x$ se cortarán en dos puntos siempre y cuando $0<k<1$. Si lo dibujas verás inmediatamente por dónde van los tiros (una ayuda es ver en qué caso la ecuación tendrá sólo una solución y a partir de ahí razonar cuando tendrá dos o ninguna).

Si este es el problema (cosa que parece bastante probable), entonces es relativamente sencillo. Hay que darse cuenta que la función $f(x) = \ln x / x$ es cero en $x = 1$ y en $x \to \infty$. Además, el único extremo que tiene es un máximo en $x = e$ (para demostrarlo hay que hacer derivadas y todo eso), donde $f(e) = 1/e$.

Por lo tanto, tanto en el intervalo $(1,\ e)$ como en $(1,\ \infty)$ es una función continua, monótona (creciente y decreciente, respectivamente) y su imagen es $I = (0,\ 1/e)$. Es decir, cada punto en ese intervalo $I$ tiene una anti-imagen en los dos segmentos. Eso completaría la demostración informal. A partir de lo dicho, debería ser sencillo hacer una demostración algo más informal.

[arivasm]

Re: Demostración

Ciertamente es un enfoque más claro y evidente que el mío, que además tenía un error, pues el valor de la k que introduje en mi post estará en el intervalo (0,1/e) y no en (0,1).

[warmetal]

Re: Demostración

Muchas gracias de nuevo. El ejercicio dice exactamente esto.

a) Hacer un breve esquema de la gráfica de la función f(x)=x/lnx indicando el dominio natural, comportamiento en los extremos, asíntotas si las hubiera, y regiones de crecimiento y decrecimiento. (hasta aquí ningún problema, esto es de primero de bachiller)

b)Deducir que para todo x perteneciente a (1,3) existe un (único) y perteneciente a (e,infinito) de modo que x^y=y^x

PD: Me podéis decir cómo funciona latex? Nunca me ha hecho falta usarlo y ahora no me entero xD

[warmetal]

Re: Demostración

uy, una errata. "x perteneciente a (1,e)", no (1,3)

[warmetal]

Re: Demostración

Destaco que se me pide hacer la gráfica de f(x)=x/lnx y no de lnx/x. Esto me desconcierta un poco, porque mi profesor dijo que una vez hecho al apartado a) el b) era muy sencillo.

[arivasm]

Re: Demostración

Desde el punto de vista del problema, tanto da hacer uso de que la función $\ln x/x$ tiene la forma que te señaló pod, con ceros en 1 e infinito y un máximo en e, que manejar $x/\ln x$ (que tendrá una asíntota vertical en x=1 y tenderá a infinito cuando $x\to \infty$, con un mínimo en e). Relee el post de pod y entenderás por qué (piensa qué sucede si trazas una línea horizontal en la gráfica, en concreto en el número de veces que la cortará).

Con respecto al TeX, aunque es todo un mundo no hace falta meterse en grandes profundidades para el uso básico que conviene para este foro. Si al crear una respuesta pulsas el botón "modo avanzado" te aparecerán unos cuantos símbolos cuyo uso es bastante intuitivo. Eso sí, no olvides poner las fórmulas entre las etiquetas de inicio y fin de TeX (lo más fácil es seleccionar la fórmula y pulsar el botón TEX).

[warmetal]

Re: Demostración

Otro problema me pide demostrar lo siguiente.

Sea $f:R \to R$ derivable y sea $f'(x)\geqslant {10}^{-2} \forall x$. Probar que f es biyectiva mediante el teorema del valor medio

Sé probar que es inyectiva, pero para que sea biyectiva necesito también probar que f es sobreyectiva.

¿Alguna sugerencia?

Gracias!

[arivasm]

Re: Demostración

Así a bote pronto y sin entrar en profundidades, se me ocurre que si $x=g(y)$ es la función inversa, como por la regla de la cadena $1=g'(y) f'(x)$, tenemos que $g'(y)=1/f'(x)$, cumpliéndose que $0<g'(y)\leqslant 10^2$ (lo del 0 es porque f(x) es derivable, con lo que f' no puede ser infinita) y entonces estás en una situación semejante a la que aplicaste antes.

[pod]

Re: Demostración

Otro problema, otro hilo.

¿Queda alguna duda sobre el problema original?