1r ciclo consulta sobre matemáticas

[inakigarber]

Buenas noches;
Quisiera saber si alguien podria aconsejarme como resolver una ecuación de este tipo;

$(1-B^2)Cos^2(B)=1.261291$

No he encontrado ninguna manera de encarar esta ecuación.
Gracias

[xXminombreXx]

Re: consulta sobre matemáticas

No tiene solución.

Tenemos que cos²B = 1.26/(1-B²)

B² es siempre positivo, así que o bien 1-B² es negativo, o biene está entre 0 y 1. En el caso de que sea negativo no tiene solución real, por tener un cos² = nº negativo.
En el segundo caso, si es entre 0 y 1, 1.26/(1-B²) será un número mayor que 1, evidentemente, y por lo tanto su raiz cuadrada también, pero el coseno está acotado por -1 y 1.

No he necesitado resolver la ecuación, y no es cosa fácil (a no ser que haya alguna chorrada por ahí), pero tampoco lo he intentado, un poco de inspección te lleva a mi resultado.

Se me ha ocurrido una solución para aproximar un valor de B, si sí tuviese solución, aunque es una aproximación, pero bueno, para algo somos físicos y no matemáticos

1-B² tendría que ser positivo, así que B<1, y cuando B<1 podemos aproximar sen B a B, así que:
Si B<1, entonces B²<<1 así que la aprox. será buena:

(1-sen²B)cos²B = x (x debería ser menor que 1, por eso no tiene solución en tu caso)
cos²B*cos²B = x

$$B = arccos \sqrt[4]{x}$$

[guibix]

Re: consulta sobre matemáticas

Buenas,

Si lo que quieres es la solución matemática y no una solución física, el resultado debe darte un complejo con la forma $B=a+bi$.

El coseno cuadrado de un complejo es tal, que su parte imaginaria es nula cuando $a=0$, por lo que nos queda $B=bi$, entonces:

$$(1-(bi)^2)Cos^2(bi)=1.261291$$

Luego se puede demostrar que (no me acuerdo como, pero creo que se demostraba con Euler):

$$Cos^2(bi)=\frac 1 4(e^{2b}+e^{-2b}+2)$$

y como $(bi)^2=-b^2$, te queda:

$$\frac 1 4(1+b^2)(e^{2b}+e^{-2b}+2)=1.261291$$

Ahora puedes encontrar $b$ que tiene que ser un número real y la solución será $B=bi$.

Saludos.

[inakigarber]

Re: consulta sobre matemáticas

Gracias por ambas respuestas.Con esto ya queda satisfecho lo que deseaba saber al respecto. Por cierto feliz año.

[Everett IV]

Re: consulta sobre matemáticas

Prueba con la fórmula $cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2 }$, la que te han dado no es correcta. No vas a llegar a la solución correcta, además, al ser una ecuación siempre lo puedes comprobar. Si sabes hacer ecuaciones exponenciales con ese cambio te vale, luego al final intenta dejarlo con sen y cos (no sé si puede, no me he puesto a resolverla, pero es que la fórmula, y aparte, la parte imaginaria es b, no a, siendo a y b reales. Puedes usar esa condición también

[Alriga]

Re: consulta sobre matemáticas

Hay una manera muy sencilla de ver que no tiene solución real, que es buscar el máximo absoluto de la función

$y(x)=(1-x^2)cos^2 x$

y ver que es inferior a 1,261291

La función y(x) es el producto de 2 funciones:

$y_1(x)=cos^2 x$

Esta función siempre es positiva, está siempre comprendida entre 0 y 1 y sus máximos relativos que están en ...-2pi, -pi, 0, pi, 2pi,... valen siempre 1

$y_2(x)=1-x^2$

Como $y_1(x)>0$ siempre (+), solo tiene sentido buscar el máximo de $y(x)$ en el intervalo en el que también $y_2(x)>0$ (+), pues

(+) x (+) = (+)

$y_2(x)$ es positiva en el intervalo (-1, 1). En este intervalo el valor de $y_2(x)=1-x^2$ es 0 en x=-1, la función crece siendo su máximo absoluto en x=0 con valor 1 y a partir de ahí decrece.

Como el máximo absoluto de $y_2(x)$ se da en x=0 y vale 1 y uno de los máximos valores que puede alcanzar $y_1(x)$ también es en x=0 y también vale 1, el máximo valor de

$y(x)=(1-x^2)cos^2 x$ se dará en x=0 y valdrá

1 x 1 = 1 < 1,26169 c.q.d.

Saludos.