1r ciclo Curioso error mínimo de dos variables ?

Tenemos una función f(x,y)=m*g*y-m/2*w^2*x^2 y queremos encontrar el mínimo de esta bajo la condición x^2+y^2 = r^2
(si a alguien le interesa f representa el potencial y la condición es una restricción del movimiento).

Vamos a calcular su mínimo por dos métodos y veremos que uno falla , a ver si alguien es capaz de encontrar el error.

Método 1) f(x,y)=m*g*y-m/2*w^2*x^2 y x^2+y^2 = r^2

f(y)=m*g*y-m/2*w^2*(r^2-y^2) ---> f'(y)=0= m*g + m*w^2*y

Pues bien tenemos : que el mínimo corresponde únicamente a y=-g/w^2

Método 2) (multiplicadores de Lagrange)

f(x,y)=m*g*y-m/2*w^2*x^2 y x^2+y^2 = r^2

L(x,y,p)= m*g*y-m/2*w^2*x^2 + p*(x^2+y^2 -r^2)

Lx= -m*w^2*x +2*p*x=0 ---> x*(2*p-m*w^2)=0 ---> x=0 o p= m*w^2 / 2

Ly=m*g + 2*p*y=0 ---> p= -m*g / 2*y

Lp=x^2+y^2-r^2=0

juntando la una y la dos -m*g / 2*y = m*w^2 / 2

-g/y=w^2 ---> y=-g/w^2 que es lo que teníamos antes

Pero también es posible que x=0 ---> y= +- R cosa que no obteníamos con el primer método , que falla????

[arivasm]

Re: Curioso error mínimo de dos variables ?

Con tu permiso, te pongo el Latex en las expresiones, para poder leerlas con comodidad! Mírate este hilo!

Tenemos una función $f(x,y)=m g y-\frac{m}{2} w^2 x^2$ y queremos encontrar el mínimo de esta bajo la condición $x^2+y^2 = r^2$
(si a alguien le interesa f representa el potencial y la condición es una restricción del movimiento).

Vamos a calcular su mínimo por dos métodos y veremos que uno falla , a ver si alguien es capaz de encontrar el error.

Método 1) $f(x,y)=m g y-\frac{m}{2} w^2 x^2$ y $x^2+y^2 = r^2$

$f(y)=m g y-\frac{m}{2} w^2 (r^2-y^2)$ ---> $f'(y)=0= m g + m w^2 y$

Pues bien tenemos : que el mínimo corresponde únicamente a $y=-g/w^2$

Método 2) (multiplicadores de Lagrange)

$f(x,y)=m g y-\frac{m}{2} w^2 x^2$ y $x^2+y^2 = r^2$

$L(x,y,p)= m g y-\frac{m}{2} w^2 x^2 + p (x^2+y^2 -r^2)$

$L_x= -m w^2 x +2 p x=0$ ---> $x (2 p-m w^2)=0$ ---> $x=0$ o $p= m w^2 / 2$

$L_y=m g + 2 p y=0$ ---> $p= -m g / 2 y$

$L_p=x^2+y^2-r^2=0$

juntando la una y la dos $-m g / 2 y = m w^2 / 2$

$-g/y=w^2$ ---> $y=-g/w^2$ que es lo que teníamos antes

Pero también es posible que $x=0$ ---> $y= \pm R$ cosa que no obteníamos con el primer método , que falla????

[juantv]

Re: Curioso error mínimo de dos variables ?

Saludos atrode.

No veo el error, del primer metodo tambien obtenemos lo mismo(solo que observando todas las posibilidades) mira... .
Restriccion:
$x^2+y^2 = r^2$

Funcion Multivariable
$f(x,y)=m g y-\frac{m}{2} w^2 x^2$

Funcion Monovariable
$f(x)=m g \sqrt{ r^2 -x^2} -\frac{m}{2} w^2 x^2$

Operando un poco, llegas a ... .

$f'(x)= \frac{-mgx}{\sqrt{ r^2 -x^2}}-m x w^2$

$\frac{-mgx}{\sqrt{ r^2 -x^2}}-m x w^2 = 0$

$\frac{-g}{w^2} = \sqrt{ r^2 -x^2}$

si x=0 entonces ...

$r = \frac{-g}{w^2}$

pero de la restriccion $x^2+y^2 = r^2$ tambien tenemos que si x=0 ...

$y = \pm r$ ( usted escribio $y= \pm R$)

o lo que es lo mismo

$y = \frac{-g}{w^2}$

que es lo que obtenemos por el segundo metodo

osea que a fin de cuentas da lo mismo solo que el metodo 2 no es tan explicito en cuanto a lo que vale R cuando consideramos x=0. me di cuenta examinando los maximos y minimos pero respecto a x.

[Umbopa]

Re: Curioso error mínimo de dos variables ?

Creo que no has entendido la esencia del problema.
Ya se que si pones x=0 sale y=+-R pero como sabes que x=0 por el método 1????
Para encontrar un mínimo hay que igualar la derivada a cero , y por el primer método no da ninguna información de que x=0 sea un mínimo...
ese es el problema . También aislando z en lugar de x sale (x=0) pero la cuestión es , porque aislando la x no obtenemos la condición x=0?

[juantv]

Re: Curioso error mínimo de dos variables ?

Este es el primer metodo (porque no estamos usando multiplicadores de lagrange) :

$f'(x)= \frac{-mgx}{\sqrt{ r^2 -x^2}}-m x w^2 = 0$ (A)

$f'(x)= \frac{-mgx}{y}-m x w^2 = 0$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


$y = \frac{-g}{w^2}$ (1)



o bien

$x= 0$ (2)

que es la condicion que queriamos , si usamos esa condicion , de (A) obtenemos que

si $x=0$ entonces $y= \pm r$

y esto responde a tu pregunta inicial de como usando el metodo 1 llegamos a que x=0 , y = R

Nota
ya nose como mas hacerme entender ... .

[Umbopa]

Re: Curioso error mínimo de dos variables ?

A ver el primer método tu estas aislando la y(x) y la metes en f(x,y) , y yo no pregunto eso...
Pregunto porque si aíslas la x no sale entiendes ?

[juantv]

Re: Curioso error mínimo de dos variables ?

esta fue tu pregunta INICIAL :

"Pero también es posible que x=0 ---> y= +- R cosa que no obteníamos con el primer método , que falla????"

ya te mostre que el primer metodo si muestra esa posibilidad solo que para darse cuenta de ello evaluamos los minimos respecto a x y no respecto a y , como ud lo hizo.
Ahora, que porque con x si y porque con y no , es OTRA PREGUNTA DISTINTA, que ciertamente sale de mi interes

[Umbopa]

Re: Curioso error mínimo de dos variables ?

A ver esta es una pregunta para hacer pensar , como resolver un tema de extremos de funciones de dos variables ya sabemos hacerlo .
Si no te interesa solo mira otro hilo , o haz otra cosa xD

[juantv]

Re: Curioso error mínimo de dos variables ?

Procura evaluar los maximos y minimos en ambas variables con el primer metodo.
en cambio con langrage no es necesario, lo hace a veces menos engorroso

[juantv]

Re: Curioso error mínimo de dos variables ?

solo me queda decir que lagrange hace nuestra tarea mas compacta que algunos lo vean y otros no , ambos metodos dicen lo mismo y ninguno es erroneo , no hay ninguin error .

[Umbopa]

Re: Curioso error mínimo de dos variables ?

Ya , pero los multiplicadores , sirven cuando tenemos lo que se llaman ligadura no holonomas . Esto significa que si tenemos una relación entre variables g(x,y)=0 y no podemos aislar una de ellas y meterla en la función principal , tenemos que aplicar los multiplicadores de lagrange .

Imagínate que en lugar de x^2+y^2=r^2 (circunferencia ) , tenemos una elipse (x^2/a^2+y^2/b^2=1) , o cualquier otra curva estraña q se te pueda ocurrir , el método uno no sirve o se hace demasiado complicado...

[pod]

Re: Curioso error mínimo de dos variables ?

Los multiplicadores de Lagrange en ocasiones tienen la manía de añadir soluciones "espurias" de este tipo. Es el caso cuando la solución "extra" es un punto crítico de L, pero no es un máximo ni un mínimo. Es lo mismo que pasa en $f(x) = x^3$, en el orígen tiene derivada nula pero no es un máximo ni un mínimo.

En este caso, si no recuerdo mal, tendrías que buscar la matriz hessiana de L y ver que todos los valores propios tienen el mismo signo para las soluciones "verdaderas".

[Umbopa]

Re: Curioso error mínimo de dos variables ?

pod , ok , me exprese mal , dije mínimo pero me refería a extremo o punto de equilibrio.

Esta situación es una situación real y la solución x=0 tiene significado físico :
f es el potencial de una masa unida a un anillo de radio r que gira entorno a un punto fijo . x,y son las coordenadas referidas al centro del anillo

El potencial total es = Potencial gravitatorio + Potencial centrifugo = mgy-m/2 *w^2 *x^2 donde w es la velocidad angular del anillo.
y x^2+y^2=r^2 es la ligadura.

(x=0 , y=+-r) correspondría a la situación en que la bola esta en el punto mas bajo del anillo o el mas alto , si soltamos la bola ahí se mantiene en equilibrio así que si tiene significado esta solución

[juantv]

Re: Curioso error mínimo de dos variables ?

Me ha sido provechoso todo lo que has dicho de lo de la situacion real y la explicacion de Pod, pero lo que no me queda claro es porque insistes en que el metodo 1 no muestra esa condicon? (porque eso fue lo que preguntaste y si lo muestra) ... .

[Umbopa]

Re: Curioso error mínimo de dos variables ?

Mira tu coges tu función f(x,y)=mgy-m/2 *w^2*x^2 con la ligadura x^2+y^2=r^2 ---> x^2=r^2-y^2

f(y)=mgy - (m/2)*w^2 *(r^2-y^2) ----> f'(y)=mg+m*w^2*y=0 ---> y=-g/w^2 pero falta la otra condición posible que es y=+-r (x=0)
que no se puede deducir aislando la x , porque no? esa era la pregunta inicial