Olimpiada Otro olímpico de la fase local de Sevilla 2012

[Sheldoniano]

Os dejo uno de los facilitos para echar el rato:

Dado un entero positivo n, hallar la suma de todos los enteros positivos inferiores a 10n que no son múltiplos de 2 ni 5

Que se os dé bien.

Un saludo

[rarar]

Re: Otro olímpico de la fase local de Sevilla 2012

$20n^2$

[Sheldoniano]

Re: Otro olímpico de la fase local de Sevilla 2012

Correcto

[juantv]

Re: Otro olímpico de la fase local de Sevilla 2012

Quiza seria mas didactico el hilo si se ponen ideas para resolverlo o el procedimiento en si mismo

[rarar]

Re: Otro olímpico de la fase local de Sevilla 2012

$20n^2$ veces perdón.
Lo he hecho casi intuitivamente.
He considerado n=1, como es multiplicado por 10 y la suma pedida (o sea, sin pares y sin múltipos de 5) es 20 (1,3,7,9)
Para n=2 es 60 (11,13,17,19)
Para n=3 es 100 (21,23,27,29)
Nos sale una sucesión en las sumas. A partir de ahí es un "juego de niños".
Un poco chapucero, pero vale ¿no?
Un cordial saludo.

[juantv]

Re: Otro olímpico de la fase local de Sevilla 2012

lo veo mas riguroso hacerlo por conjuntos, pero bueno si la intuición es primero que mas da... .

[Sheldoniano]

Re: Otro olímpico de la fase local de Sevilla 2012

Yo lo he hecho con el principio de inclusión-exclusión de conjuntos como dice juantv, mañana os lo subo entero. Mi objetivo era que se animara la gente a hacerlo

[Sheldoniano]

Re: Otro olímpico de la fase local de Sevilla 2012

Sea el conjunto de números $n\in \mathbb{Z_+}$

Llamemos A al conjunto: $A=\left\{{0,1,2...10n}\right\}$

y $\dot 2$ a {2,4,6...10n}

y $\dot 5$ a {5,10,15...10n}

y $\dot 10$ a {10,10,30...10n}

Sabemos que en el conjunto A tenemos estos tres subconjuntos de manera que los mútiplos de 10 serán la intersección de los mútiplos de 2 y 5.
Por tanto para calcular los que no sean múltiplos de ambos deberíamos eliminar esos conjuntos teniendo en cuenta que al eliminar los dos eliminamos dos veces el conjunto de mútiplos de 10, que, por tanto, habría que sumar para ser correctos.

Siendo la suma de términos de una progresión aritmética:

$\dst{Sn=\frac{n(a_1+a_n)}{2}}$

Por tanto:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] (mútiplos de 2)


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] (múltiplos de 5)


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] (múltiplos de 10)


La suma total será:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Sacando $\frac{n}{2}$ factor común:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Por tanto la suma de los enteros positivos menores que 10n que no sean mútiplos ni de dos ni de cinco es:

$\boxed{20n^2}$

[rarar]

Re: Otro olímpico de la fase local de Sevilla 2012

múltiplos de 2 = $\dot 2$
múltiplos de 2 = \dot 2