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Otro olímpico de la fase local de Sevilla 2012

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  • Olimpiada Otro olímpico de la fase local de Sevilla 2012

    Os dejo uno de los facilitos para echar el rato:

    Dado un entero positivo n, hallar la suma de todos los enteros positivos inferiores a 10n que no son múltiplos de 2 ni 5

    Que se os dé bien.

    Un saludo
    Physics works, I'm telling you- Dr. Walter Lewin

  • #2
    Re: Otro olímpico de la fase local de Sevilla 2012

    Comentario


    • #3
      Re: Otro olímpico de la fase local de Sevilla 2012

      Correcto
      Physics works, I'm telling you- Dr. Walter Lewin

      Comentario


      • #4
        Re: Otro olímpico de la fase local de Sevilla 2012

        Quiza seria mas didactico el hilo si se ponen ideas para resolverlo o el procedimiento en si mismo
        Última edición por juantv; 01/04/2012, 15:37:54.
        K = \mathbf{Q} (\zeta) \subset K_{1} \subset K_{2} \subset \cdots \subset \mathbf{C}

        Comentario


        • #5
          Re: Otro olímpico de la fase local de Sevilla 2012

          veces perdón.
          Lo he hecho casi intuitivamente.
          He considerado n=1, como es multiplicado por 10 y la suma pedida (o sea, sin pares y sin múltipos de 5) es 20 (1,3,7,9)
          Para n=2 es 60 (11,13,17,19)
          Para n=3 es 100 (21,23,27,29)
          Nos sale una sucesión en las sumas. A partir de ahí es un "juego de niños".
          Un poco chapucero, pero vale ¿no?
          Un cordial saludo.

          Comentario


          • #6
            Re: Otro olímpico de la fase local de Sevilla 2012

            lo veo mas riguroso hacerlo por conjuntos, pero bueno si la intuición es primero que mas da... .
            K = \mathbf{Q} (\zeta) \subset K_{1} \subset K_{2} \subset \cdots \subset \mathbf{C}

            Comentario


            • #7
              Re: Otro olímpico de la fase local de Sevilla 2012

              Yo lo he hecho con el principio de inclusión-exclusión de conjuntos como dice juantv, mañana os lo subo entero. Mi objetivo era que se animara la gente a hacerlo
              Physics works, I'm telling you- Dr. Walter Lewin

              Comentario


              • #8
                Re: Otro olímpico de la fase local de Sevilla 2012

                Sea el conjunto de números

                Llamemos A al conjunto:

                y a {2,4,6...10n}

                y a {5,10,15...10n}

                y a {10,10,30...10n}

                Sabemos que en el conjunto A tenemos estos tres subconjuntos de manera que los mútiplos de 10 serán la intersección de los mútiplos de 2 y 5.
                Por tanto para calcular los que no sean múltiplos de ambos deberíamos eliminar esos conjuntos teniendo en cuenta que al eliminar los dos eliminamos dos veces el conjunto de mútiplos de 10, que, por tanto, habría que sumar para ser correctos.

                Siendo la suma de términos de una progresión aritmética:



                Por tanto:

                [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


                [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] (mútiplos de 2)


                [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] (múltiplos de 5)


                [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] (múltiplos de 10)


                La suma total será:

                [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


                [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

                Sacando factor común:

                [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

                Por tanto la suma de los enteros positivos menores que 10n que no sean mútiplos ni de dos ni de cinco es:

                Última edición por Sheldoniano; 02/04/2012, 12:06:40. Motivo: Poner múltiplos correctamente
                Physics works, I'm telling you- Dr. Walter Lewin

                Comentario


                • #9
                  Re: Otro olímpico de la fase local de Sevilla 2012

                  múltiplos de 2 =
                  múltiplos de 2 = \dot 2

                  Comentario

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