Divulgación ¿postulado de rarar?

[rarar]

He estado estudiando un poco de matemáticas y, al resolver algunas cuestiones, me ha surgido un “problemilla”, que al analizarlo me ha llevado a encontrar unas propiedades curiosas. He estado mirando páginas (muchas) en Internet y no he visto referencia a ellas.
Las comparto con vosotros. Lo llamaré Postulado de rarar, ya que las he deducido, pero no demostrado. ¡Pero sí se cumplen!
$\text{Sean } a_i, k, n \epsilon N$
$P_k = (n-1)(n-2)\ldots (n-k)=a_kn^k-a_{k-1}n^{k-1}\ldots +(-1)^{k-1}a_1n+(-1)^ka_0$
$\text{Propiedades:}$
$\text{ 1) } \sum_{i=0}^{k}a_i = 0$
$\text{ 2) } \sum_{i=0}^{k}\left\vert{a_i} \right\vert{} = (k+1)!$
$\text{ 3) }a_k=1$
$\text{ 4) }a_0=(-1)^kk!$
$\text{ 5) }a_{k-1}=-k \frac{k+1}{2}$
$\text{ 6) }a_{k-2}= \frac{3(k-1)^4+14(k-1)^3+21(k-1)^2+10(k-1)}{24}$
Seguiré analizando para ver si descubro más propìedades.
Si habéis visto algo sobre este tema, os agradeceré que me lo indiquéis.
Un saludo.

[arivasm]

Re: ¿postulado de rarar?

La 3) la 4) y la 5) son evidentes. Encuentro más interesantes las demás aunque me da la sensación que se podrían demostrar por inducción (pero, francamente, no lo he intentado). En cualquier caso, enhorabuena por tu capacidad de observación.

[arivasm]

Re: ¿postulado de rarar?

Por ahora sólo me he metido en la relación recursiva que construye los "números de rarar". Si expresas el polinomio como

$$P_k(n)=\sum_{i = 0}^k a_{k,i} n^i$$

las relaciones evidentes son las siguientes:

$$a_{k,k}=1$$

$$a_{k,0}=(-1)^k k!$$

$$a_{k,i}=a_{k-1,i-1}-k a_{k-1,i}$$

donde la (3) resulta inmediatamente de la construcción del término independiente y la (4) se aplica para $i \neq 0, k$.

Como ejemplo de que quizá sí se pueda aplicar la demostración por inducción para alguna de ellas, demostraré la 1.

En primer lugar comprobamos que ciertamente se cumple para k=1. Así pues, supondremos que se cumple para k-1 y veremos si se cumple para k.

Para usar (4), primero descomponemos la suma de esta manera

$\dst \sum_{m=0}^k a_{k,m} = 1 + \sum_{m=1}^{k-1} a_{k,m} + (-1)^k k!$

y entonces

$\dst \sum_{m=0}^k a_{k,m} = 1 + \sum_{m=0}^{k-2} a_{k-1,m} - k \sum_{m=1}^{k-1} a_{k-1,m} + (-1)^k k!$

Ampliemos las sumas de manera que cubran todos los términos:

$\dst \sum_{m=0}^k a_{k,m} = 1 + \left( \sum_{m=0}^{k-1} a_{k-1,m} - a_{k-1,k-1} \right) - k \left( \sum_{m=0}^{k-1} a_{k-1,m} - a_{k-1,0} \right) + (-1)^k k!$

Como, por hipótesis, se cumple la propiedad 1, luego:

$\dst \sum_{m=0}^k a_{k,m} = 1 - a_{k-1,k-1} + k a_{k-1,0} + (-1)^k k! = 0$

donde el resultado nulo se justifica porque $a_{k-1,k-1}=1$ y

$k a_{k-1,0} + (-1)^k k!=k(-1)^{k-1} (k-1)! + (-1)^k k!=(-1)^{k-1} \left(k! - k! \right)= 0$

[rarar]

Re: ¿postulado de rarar?

Ahí va otra¡
Gracias Arivasm por tu interés.

$\text{ 7) }a_{k-3}= \frac{(k-2)^6+11(k-2)^5+47(k-2)^4+97(k-2)^3+96(k-2)^2+36(k-2)}{48}$

Se podría con esta fórmula calcular los coeficientes hasta k=6, con fácil operación aritmética.
Un cordial saludo

[rarar]

Re: ¿postulado de rarar?

$$a_{k,i}=a_{k-1,i-1}-k a_{k-1,i}$$

donde la (3) resulta inmediatamente de la construcción del término independiente y la (4) se aplica para $i \neq 0, k$.

[/CENTER]

Arivasm, estoy analizando tu demostración, y tengo dudas de la corrección de la propiedad, que expones. Puede ser que no acabe de entenderla.
Si me la puedes aclarar.
Recibe un cordial saludo.

[arivasm]

Re: ¿postulado de rarar?

Usaré la notación anterior: $\dst P_k(n)=\sum_{i = 0}^k a_{k,i} n^i$.

Como $P_k(n)=(n-k)P_{k-1}$, tenemos que

$\dst P_k(n)=(n-k)\sum_{i = 0}^{k-1} a_{k-1,i} n^i=\sum_{i = 0}^{k-1} a_{k-1,i} n^{i+1}-\sum_{i = 0}^{k-1} k a_{k-1,i} n^i$

Es decir

$\dst P_k(n)=\sum_{i = 1}^{k} a_{k-1,i-1} n^i-\sum_{i = 0}^{k-1} k a_{k-1,i} n^i$

Agrupando términos del mismo exponente:

$\dst P_k(n)=a_{k-1,k-1}n^k + \sum_{i = 1}^{k-1} (a_{k-1,i-1}-k a_{k-1,i}) n^i-k a_{k-1,0}$

Luego

$$a_{k,k}=a_{k-1,k-1}=...=a_{1,1}=1$$

$$a_{k,0}=-k a_{k-1,0} =k(k-1)a_{k-2,0}= ...=(-1)^k k!$$

$$a_{k,i}=a_{k-1,i-1}-k a_{k-1,i}$$

[rarar]

Re: ¿postulado de rarar?

Gracias, Arivasm. No entendía tu anotación. Me ha costado, pero ya entiendo. Bien.
He hallado $a_{k-4}$, aunque es un poco aberrante. Me lo he currado

$a_{k-4} = \frac{15k^8+300k^7+2510k^6+11352^5+29855k^4+45420k^3+36740k^2+12048k}{5760}$
Creo que mi hoja de cálculo me impide hallar más. Además, creo que deja de ser interesante, al "costar" más el esfuerzo que el resultado en sí. Es decir, casi cuesta menos multiplicar directamente.
He encontrado algunas otras propiedades curiosas, pero creo que tienen poca importancia.
Me encantaría que siguieses testando "mis propiedades", por si encuentras algún error.
Voy a investigar un poco, para ver si el salto de $n\epsilon N \text{ a } n\epsilon R$, es posible. Tendría, posiblemente, su importancia de cara a la aproximación de ciertas funciones, en un intervalo deseado.
Un cordial saludo.

[arivasm]

Re: ¿postulado de rarar?

Hola rarar

Sólo es para decirte que la demostración de la propiedad 2) es idéntica a la que recogí anteriormente para la propiedad 1). Se ve de manera muy inmediata si defines los polinomios $Q_k(n)=(n+1)(n+2)...(n+k)=\dst \sum_{i=0}^k b_{k,i} n^i$, pues los $b_{k,i}= |a_{k_i}|$ y entonces se cumple que $b_{k,i}=b_{k-1,i-1}+k b_{k-1,i}$, es decir, $|a_{k,i}|=|a_{k-1,i-1}|+k |a_{k-1,i}|$.

A partir de aquí la demostración es, como dije antes, prácticamente idéntica a la de la 2), por lo que me ahorraré, con tu permiso, el trabajo de teclearla.

Intentaré darle algunas vueltas a las demás propiedades que has indicado.

Saludos!

[rarar]

Re: ¿postulado de rarar?

Muchas gracias, arivasm.
Un cordial saludo.

[arivasm]

Re: ¿postulado de rarar?

Tirando de la relación de recurrencia he encontrado esta expresión para los coeficientes de $n$, es decir, para los que tú etiquetas como $a_1$ y yo como $a_{k,1}$. La demostración es muy incómoda de transcribir en LaTEX, pero es pura mecánica:

$\dst a_{k,1} = (-1)^{k-1} k! \sum_{p=1}^k \frac{1}{p}$

Saludos!

[rarar]

Re: ¿postulado de rarar?

No funciona para $a_1$
Un cordial saludo.

[rarar]

Re: ¿postulado de rarar?

Perdón, sí funciona.
Un cordial saludo.

[rarar]

Re: ¿postulado de rarar?

Me encanta esa función de la serie armónica¡

[arivasm]

Re: ¿postulado de rarar?

En estos días de vacaciones he llevado conmigo un papel y un bolígrafo para jugar con tus polinomios en los ratillos aburridos. Total, que he encontrado una nueva expresión, haciendo uso de las relaciones de recurrencia y del último resultado que aporté. En esta ocasión se refiere a los coeficientes de $n^2$, es decir, a tus $a_2$:

$\dst a_{k,2}=(-1)^k k! \sum_{p=2}^k \frac{1}{p} \sum_{q=1}^{p-1} \frac{1}{q}$

Como se puede ver, si se compara con el resultado que señalé anteriormente tiene toda la pinta de que se puede generalizar. De hecho, yo también hice mi propia conjetura al respecto y me limité a comprobar el caso $a_3$ con la expresión siguiente:

$\dst a_{k,3}=(-1)^{k-3} k! \sum_{p=3}^k \frac{1}{p} \sum_{q=2}^{p-1} \frac{1}{q} \sum_{r=1}^{q-1} \frac{1}{r}$

y comprobé que al menos sí se cumple en los dos primeros ($k=4$ y $k=5$; con papel y bolígrafo no animaba mucho a irse más allá).

Así pues, aquí lanzo yo la "conjetura de arivasm para los números de rarar":

$\dst a_{k,\alpha}=(-1)^{k-\alpha} k! \sum_{p_1=\alpha}^k \frac{1}{p_1} \sum_{p_2=\alpha-1}^{p_1-1} \frac{1}{p_2} \sum_{p_3=\alpha-2}^{p_2-1} \frac{1}{p_3}...\sum_{p_\alpha=1}^{p_{\alpha-1}-1} \frac{1}{p_\alpha}$

Claro que de momento es un simple brindis al sol. Trataré de verificarlo electrónicamente un día de éstos.

[rarar]

Re: ¿postulado de rarar?

Sí Arivasm. También me he estado comiendo "el tarro" con $a_2$.
Es fácil de comprender, pero muy difícil de encontrar su fórmula.
Es tan simple como multiplicar todos los términos independientes de todos los factores ($k_i)$, escogidos de $k-2 \text { en } k-2$.
Es decir, por ejemplo, si tenemos 5 factores: $(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)$, elegiremos de dos en dos (para obtener $n^2$) y multiplicaremos todos los términos independientes, a excepción de los dos escogidos. El resultado de todas esas multiplicaciones, las sumaremos. Obtendremos $\begin{pmatrix}5 \\ 2\end{pmatrix}$ combinaciones diferentes. En este caso (1*2*3)+(1*2*4)+(1*2*5)+(1*3*4)+(1*3*5)+(1*4*5)+(2*3*4)+(2*3*5)+(2*4*5)+(3*4*5)=225
Pero, hallar una fórmula que nos dé el resultado
En canal ingenio, he puesto un problema que, en cierta forma, utiliza el "postulado".
Un cordial saludo.