Divulgación Consulta sobre espacios de Hilbert

[inakigarber]

Buenas noches;
Quisiera tener información sobre Espacios de Hilbert. Se que tiene bastante que ver con la mecánica cuantica pero desconozco en que consisten y algun artículo que he leido por internet me ha resultado bastante abstracto. ¿Hay algun material "sencillo" al respecto?.

[juantv]

Re: Consulta sobre espacios de Hilbert

Agregar que permiten utilizar las tecnicas matematicas (calculo, algebraicas, geometricas ... etc) a espacios de dimension n (2, 3, 4 , incluso dimension infinita).

[rupiopan]

Re: Consulta sobre espacios de Hilbert

Cuando te hablan de espacios de Hilbert, para gente llana en la física como yo, quiere decir que cuando tienes estados representados por "brakets" ya puedes olvidarte de las funciones de onda $\dst \Phi\left( r,\theta ,\gamma \right)$ para usar bras y kets, < n,l,m,s l y l n,l,m,s > respectivamente, para así calcular los valores esperados sin integrar, esos vectores son del espacio de hilbert y con eso queda dicho que son todos ortogonales para así simplemente hacer los cálculos por multiplicación de vectores iguales, resultado=1, o vectores perpendiculares, resultado=0.

Saludos!

[arivasm]

Re: Consulta sobre espacios de Hilbert

Un espacio de Hilbert es un espacio vectorial en el que está definida una operación interna (producto escalar) que satisface ciertas propiedades. Es una generalización del concepto de espacio euclídeo.

Su uso en mecánica cuántica está muy extendido, pues las funciones de onda de un sistema se pueden expresar como combinación lineal de un conjunto de funciones de onda base, con lo que admiten ser consideradas vectores de un espacio de Hilbert.

Para entender esto último pondré un ejemplo: una situación semejante, en este último sentido, es el caso de los polinomios, que también admite ser visualizado como un espacio vectorial, cuya base podría ser, por ejemplo, el conjunto ${1, x, x^2, x^3, x^4,...}$. Todo polinomio es una combinación lineal de este conjunto: $P(x)=a_0 1+a_1 x+a_2 x^2+ a_3 x^3+...$. Observemos que ningún elemento de la base puede ser expresado como combinación lineal de los demás vectores de la base (por ejemplo, no es posible obtener $x^2$ como combinación lineal de $1, x, x^3, x^4...$).

En el caso de la Mecánica Cuántica, el producto escalar al que se refiere la definición de espacio de Hilbert es la operación $<\psi|\varphi>=\int \psi^* \varphi \dd V$, donde la integral se extiende a todo el espacio y $\psi$ y $\varphi$ son funciones de onda.

Como ha dicho rupiopan, el empleo de los espacios de Hilbert nos permite evitar el cálculo de integrales muy incómodas, pues bastará con conocer las propiedades de estas integrales cuando se aplican sobre las funciones de onda de la base que, por supuesto, elegiremos convenientemente para que sea fácil encontrar sus valores.

Aunque, como siempre, la mejor fuente para su estudio son los libros (mejor los de cuántica que los de matemáticas, pues los primeros se centran casi exclusivamente en las propiedades de interés para los sistemas cuánticos, con lo que son más fáciles de seguir) si sólo quieres una "mano de pintura" puedes leer esta entrada en http://la-mecanica-cuantica.blogspot...e-hilbert.html

[inakigarber]

Re: Consulta sobre espacios de Hilbert

Gracias a los dos por vuestras respuestas. Por lo que veo esta herramienta sirve para facilitar los calculos utilizando espacios por lo que al menos les he quitado un poco el miedo. Valor y al toro....

A veces pienso que estudiar física es como comer turron del duro. Al final deja un maravilloso sabor de boca pero ...¡¡ Cuanto cuesta a veces hincarle el diente!!... (a veces me rio de mi propia ignorancia).
Creo que con los espacios de Hilbert he tropezado nuevamente con turron del duro.
De espacios vectoriales se lo que estudie en la escuela profesional. Sumar vectores , multiplicarlos por un escalar o multiplicarlos por un vectorial. En este caso obtendre un tercer vector que sera a su vez perpendicular a ambos vectores (como en el caso de la Fuerza de Lorentz, por ejemplo).
Por lo que veo el espacio de hilbert se trataria de una herramienta matematíca que me permite operar con vectores pero no he entendido muy bien el como debo utilizar dicha herramienta. He buscado por internet algun lugar donde haya algún ejemplo sencillo pero no lo he encontrado.

Por lo que veo debo empezar a hincarle el diente ya a este turron si quiero sacarle un poco de gusto por navidad.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre espacios de Hilbert

Buenas noches; sigo dandole vueltas al tema arriba mencionado, he visitado la página http://la-mecanica-cuantica.blogspot...e-hilbert.html y encontre tambien mas información en este mismo foro http://forum.lawebdefisica.com/entri...-una-medición. Sin embargo me pierdo. En esta segunda página se menciona el famoso experimento de Young de la doble rendija. Entiendo que en un punto cualquiera de la pantalla incidiran dos ondas luminosas con una diferencia de fase en función de la longitud de onda (la misma en ambos casos), de la diferencia del trayecto recorrido por ambos rayos luminosos y del angulo de incidencia de ambos rayos con la pantalla (prácticamente el mismo en ambos casos). En algunos puntos de la pantalla ambos rayos "pulsaran en fase" y su amplitud sera doble, en otros lugares pulsaran el contrafase y la amplitud resultante sera cero. En otros puntos intermedios la amplitud sera un valor intermedio entre ambos.
Si hubieramos lanzado un unico foton no sabriamos a que lugar de la pantalla iria a parar. Pero si sabemos que hay ciertos lugares donde es mas probable encontrarlo (donde hay mas amplitud) en tanto que hay otros donde es casi imposible que haya ido (los puntos oscuros). Se que ambos rayos luminosos son vectores, y que la posibilidad de encontrar o no el foton en un punto concreto de la pantalla depende de la resultante de la suma de ambos.No se si esto tiene mucha relación con los espacios de Hilbert arriba mencionados. Tal vez estoy dando palos de ciego....