Otras carreras Flujo del campo vectorial en un Cilindro Circular

[teleneco]

Por favor, tambien necesito ayuda en este ejercicio

Determinar el flujo del campo vectorial $F=({x}^{3}+x{y}^{2}) \vec{i} + (y{x}^{2}+{y}^{3}) \vec{j}$ , a través de la superficie lateral de un cilindro circular de eje OZ, altura L y radio R, cuya base se encuentra en el plano Z = 0.

La integral del flujo (creo) que es: $\int\vec{F}x\vec{dS}$=($\frac{{x}^{4}}{4}+\frac{{x}^{2}}{2}*\frac{{y}^{3}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}*\frac{{x}^{3}}{3}+\frac{{y}^{4}}{4})$*S

Al estar situada en la base de z=0, la integral de la base es 0.
Entonces, ¿cómo se calcula el flujo de la superficie de arriba y de la superficie lateral?
Gracias, fisicos.

[arivasm]

Re: Flujo del campo vectorial en un Cilindro Circular

Yo lo haría aplicando el teorema de Gauss: $\oint \vec F\cdot\dd \vec S = \int \vec\nabla\vec F\;\dd V$. Como la divergencia del campo es $\vec\nabla\vec F=4x^2+4y^2$, si usamos coordenadas cilíndricas $(\rho,\varphi,\theta)$, tenemos que $\vec\nabla\vec F =4\rho^2$. Por otra parte, como el elemento de volumen en coordenadas cilíndricas es $\dd V=\rho\;\dd \rho\; \dd\varphi\;\dd z$, el flujo será $\int_0^R 4\rho^3 \dd\rho\int_0^{2\pi}\dd\varphi\int_0^L\dd z=2\pi R^4 L$.