2o ciclo rotacional de campos vectoriales

[Julián]

Que un campo vectorial tenga rotacional, es decir que $rot(\vec{F}) \neq 0$ no quiere decir que los vectores del campo tengan una configuración de giro como se muestra en la figura adjuntada



sino que un campo el de la imagen adjuntada rot2 también tiene rotacional $rot(\vec{F}) \neq 0$



Por lo que la tendencia de giro mas que de los vectores del campo es de un objeto que interaccione con el campo. ¿es así?

saludos.

[arivasm]

Re: rotacional de campos vectoriales

Sí, es así. Mejor dicho, en realidad sería así si el campo es de fuerzas (o de él se deriva un campo de fuerzas). En la entrada de Wikipedia española sobre rotacional lo cuentan (aunque me gusta más como lo dicen en la Wikipedia inglesa y el ejemplo de la pequeña pelota en el campo de velocidades de un fluido).

[Julián]

Re: rotacional de campos vectoriales

ah gracias por responder, había visto la wikipedia donde daban la idea pero no estaba 100% seguro ya que como estamos hablando de campos, la rotación me parecía que tendría que ser de los campos por lógica, así que antes que quedarme con la duda pregunté y ahora veo que la ratoción es de un objeto que interacciona con el campo y no de los campos.

Esa era la primer y fundamental duda que tengo con los rotacionales, ahora la posta.
El rotacional de $\vec{F}$ se define como.

$\nabla \times \vec{F}= <\frac{\alpha}{x }; \frac{\alpha}{y };\frac{\alpha}{z }> \times <P;Q;R>$

¿Por qué se utiliza las derivadas parciales? o mejor dicho ¿por qué se recurre tanto a estas para definir estas cosas (como el rotacional, divergencia, gradiente)?

saludos.

[arivasm]

Re: rotacional de campos vectoriales

No hay ningún misterio en ello. La derivada parcial es una generalización del concepto de derivada, pero para el caso en que la función dependa de varias variables en lugar de una sola. Como bien sabes, la idea es tratar una de las variables como tal mientras que las demás se manejan como si fuesen constantes.

¿Por qué el rotacional (o el gradiente, o la divergencia) hacen uso de las derivadas parciales? La razón es, en mi opinión simple e incluso de Perogrullo: porque es así como se definen! Otra cosa bien diferente es qué significan.

Me explicaré. Tu pregunta sería hasta cierto punto semejante a ésta: "¿por qué la primitiva de una función recurre a la integral de esa función?", pues porque es así como se define. Otra cosas diferente es "¿qué significado tiene la primitiva de una función?" (algo que, por ejemplo, la regla de Barrow me permite establecer).

Para que me entiendas aún más. Supongamos que decidimos bautizar con el nombre de Julianio de un vector a la operación (que me "saco de la manga") $\dst \mathbb{J}(\vec F)=\frac{\partial F_y}{\partial x}+\frac{\partial F_z}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$. El verdadero problema sería, no por qué es así ("porque a arivasm le dio la gana!") sino "¿y eso que diablos significa?" [a ver si hay suerte, alguien le encuentra un sentido, se vuelve una operación últil, los físicos, matemáticos, ingenieros... comienzan a usarlo profusamente, el nombre se extiende... y tú y yo seremos de los pocos que conocerán el origen del nombre )

[Julián]

Re: rotacional de campos vectoriales

Si pero yo lo veo es que no es que se define una operación como $\nabla = \frac{\alpha}{ \alpha x}\hat{\imath} +\frac{\alpha}{ \alpha y}\hat{\jmath} + \frac{\alpha}{ \alpha z}\hat{\jmath}$ y después por convención se le da un sentido.

Así pues la operación nabla para un campo escalar $f$ es $\nabla (f) = \frac{\alpha f}{ \alpha x}\hat{\imath} +\frac{\alpha f}{ \alpha y}\hat{\jmath} + \frac{\alpha f}{ \alpha z}\hat{\jmath}$ ya de por sí ese vector indica la dirección de máximo crecimiento y la norma la tasa de variación de la función. Acá el sentido y el uso práctico, es decir físico ya esta dado por la misma operación.

En cambio para el caso del rotacional para un campo vectorial $\vec{F}$ donde la operación es $\nabla \times \vec{F}$ que devuelve un vector cuya dirección es perpendicular al plano de $\vec{F}$. Acá la utilidad tiene que darse ya que una rotación es el movimiento circular en un plano, que el sentido de este movimiento esté dado por un vector perpendicular al plano de la circulación es solamente por convención, un arreglo que se toma.

y la divergencia como es una operación definida como $\nabla . \vec{F}= \frac{\alpha f}{ \alpha x}\hat{\imath} + \frac{\alpha f}{ \alpha y} \hat{\jmath} + \frac{\alpha f}{ \alpha z} \hat{k}$ así que si es positiva eso quiere decir que en las inmediaciones del punto el campo vectorial está creciendo, es decir, algo le está aportando al campo, una fuente. En cambio si la divergencia es negativa en las inmediaciones los vectores del campo están disminuyendo, así que algo le está sacando al campo, un drenaje.
Así que la operación divergencia tiene una aplicación física directa sin necesidad de tomar algo como convensión.

¿estoy en lo correcto? ¿de esas 3 operaciones el rotacional tiene algo tomado por convención para el sentido de un fenómeno físico?

saludos.

[arivasm]

Re: rotacional de campos vectoriales

Por supuesto, el proceso usualmente no es "yo defino y luego veo si sirve para algo", sino que es el contrario: se encuentra que aparece tal operación y, a la vista de su interés, se le da nombre. A lo que yo me refería era a tu pregunta "¿por qué se usan tanto las derivadas parciales?"; quizá debí haber dicho "porque es lo que aparece al estudiar qué gobierna ciertos resultados" (como la circulación infinistesimal, por ejemplo, ya que hablamos de rotacionales).

Haré algunas matizaciones a tus afirmaciones: en primer lugar, la divergencia es un vector, de modo que no es una cantidad positiva ni negativa. Quienes tienen signo son sus componentes.

Está claro que no estaba nada lúcido cuando escribí la frase anterior. Por supuesto que la divergencia es un escalar!!!


Otra es que un vector no define un plano, por lo que no puedes decir que el rotacional es perpendicular al plano de F. Por otra parte, aunque en su definición interviene un producto vectorial, no se trata de uno ordinario, en el sentido de que no se multiplican dos vectores "físicos", sino que se trata del producto de un *operador vectorial* y un vector. Prueba, por ejemplo, a calcular el rotacional de este vector $\vec F=(-y,x,1)$; verás que no es perpendicular a $\vec F$ en ningún punto del espacio.

[[Beto]]

Re: rotacional de campos vectoriales

Hola, solo para comentar algo:

No es que uno defina de esas maneras tan pintorescas al rotacional, la definición de un rotacional es la siguiente:

$$\nabla\times\vec F\equiv \lim_{\Delta S\to 0} \frac{1}{\Delta S}\oint \vec F\cdot d\vec r$$

y se puede demostrar que en coordenadas cartesianas esa definición es equivalente a usar el "operador nabla" en una especie de producto vectorial con con las coordenadas del vector, ¿por qué se usa eso? pues sencillamente porque esa forma ayuda a realizar los cálculos algebraicos de forma más bonita. Lo mismo sucede para el gradiente y la divergencia.

[Breogan]

Re: rotacional de campos vectoriales

Hola:

No me acuerdo mucho del tema pero:

Haré algunas matizaciones a tus afirmaciones: en primer lugar, la divergencia es un vector, de modo que no es una cantidad positiva ni negativa. Quienes tienen signo son sus componentes.

La divergencia de un campo vectorial no es un escalar? Me parece que no

$\dst \vec \nabla . \vec E\ =\ \frac \rho {\varepsilon_0}$

Otra es que un vector no define un plano, por lo que no puedes decir que el rotacional es perpendicular al plano de F.

Creo que todo vector aplicado en un punto define un único plano que pasa por ese punto. No es así?

Hola, solo para comentar algo:

$$\nabla\times\vec F\equiv \lim_{\Delta S\to 0} \frac{1}{\Delta S}\oint \vec F\cdot d\vec r$$

Esta integral no da un escalar, por el producto usado dentro de ella?.

Suerte

[arivasm]

Re: rotacional de campos vectoriales

Sobre lo de la divergencia tienes toda la razón! Está claro que lo confundí con el gradiente! En tal caso debo corregir lo que señalé antes y citar que es una medida de la densidad de fuentes puntuales del campo.

Con respecto al vector y el punto, entiendo que no son suficientes para definir un plano. Hacen falta dos puntos y un vector, o un punto y dos vectores. Si nos referimos a planos sin tener en cuenta su posición en el espacio, sino sólo su orientación necesitaremos dos vectores (uno de los cuales puede proceder del que definen dos puntos).

Sobre el rotacional, el carácter vectorial está implícito en el vector superficie que aparece en el denominador. Entiendo que sería, algo así como que el producto escalar $\nabla\times\vec F\cdot\Delta\vec S$ es $\oint \vec F\cdot d\vec r$, en particular cuando la superficie tiende a tener tamaño nulo, y con el contorno de la integral tomado a lo largo del de la superficie.

[[Beto]]

Re: rotacional de campos vectoriales

Esta integral no da un escalar, por el producto usado dentro de ella?.

Si, perdón por mi falta de rigurosidad, me falto especificar de que esa es solamente una componente ... creo que le falta algo más a la definición no recuerdo muy bien ... pero para calcular el rotacional completo toca hacer tres límites debido a que hay tres planos perpendiculares en un punto de una determinada curva, y se tiene que hacer un límite por cada plano.

[Breogan]

Re: rotacional de campos vectoriales

Hola:

Con respecto al vector y el punto, entiendo que no son suficientes para definir un plano. Hacen falta dos puntos y un vector, o un punto y dos vectores. Si nos referimos a planos sin tener en cuenta su posición en el espacio, sino sólo su orientación necesitaremos dos vectores (uno de los cuales puede proceder del que definen dos puntos).

Creo que entiendo nuestra diferencia, vos estas hablando de planos que contienen a los vectores y puntos que los definen. Yo estoy pensando en el plano definido por un vector normal a el y su punto de aplicación, los cuales serian suficientes para definirlo, no?.

Suerte

[Julián]

Re: rotacional de campos vectoriales

hay algo que todavía no entiendo.

$\nabla \times \vec{F} = \frac{lim}{\Delta S \to 0 } \frac{1}{\Delta S } \oint \vec{F}.d\vec{S}$

El segundo miembro hace referencia a una integral de linea, y el resuletado es la cantidad neta de flujo sobre una curva. Pero ¿sobre qué curva se evalúa la integral?. ¿sobre todas las curvas que forman la superficie $S$? porque me imagino que la exterior solamente no puede ser ya que el rotacional según el teorema de stokes se evalúa en toda la superficie.

Además el resultado de la integral de linea $\oint \vec{F}.d\vec{S}$ es una magnitud escalar y el rotacional es una magnitud vectorial.

saludos.

[Breogan]

Re: rotacional de campos vectoriales

Hola:

No me acuerdo mucho en mate, pero el teorema de Stokes no se usaba para relacionar la circulacion del campo magnetico sobre una linea cerrada con el flujo del rotor del campo magnetico en la superficie abierta limitada por dicha linea cerrada, es decir:


$\dst \int_S \ (\vec \nabla \times \vec B)\ d \vec S\ =\ \oint_L \vec B\ d\vec l$

Suerte

[arivasm]

Re: rotacional de campos vectoriales

Yo estoy pensando en el plano definido por un vector normal a el y su punto de aplicación, los cuales serian suficientes para definirlo, no?.

Sí, de nuevo tienes razón, no me había dado cuenta de que te referías a que el vector fuese el vector director del plano. En todo caso, tampoco se cumplirá la afirmación que hizo Julián "la operación es que devuelve un vector cuya dirección es perpendicular al plano de ", pues con la interpretación del vector director eso implicaría paralelismo entre F y su rotacional y tampoco necesariamente será así (el rotacional de un simple campo constante es un ejemplo inmediato).

¿sobre qué curva se evalúa la integral?

La integral se evalúa sobre la curva que delimita el borde de la superificie. Para entendernos, si la superficie es una de las caras de un folio que está sobre una mesa, la curva es el rectángulo del borde del folio.

Sobre el que la integral sea un escalar, como comentó Beto, el denominador de la expresión que puso sería cada una de las componentes del vector superficie y el lado izquierdo no sería el rotacional, sino la componente correspondiente del rotacional.

...el teorema de Stokes no se usaba para relacionar la circulacion del campo magnetico sobre una linea cerrada con el flujo del rotor del campo magnetico en la superficie abierta limitada por dicha linea cerrada...

Es un teorema general, aplicable a cualquier campo vectorial.

[Breogan]

Re: rotacional de campos vectoriales

Hola:

Sí, de nuevo tienes razón, no me había dado cuenta de que te referías a que el vector fuese el vector director del plano. En todo caso, tampoco se cumplirá la afirmación que hizo Julián "la operación es que devuelve un vector cuya dirección es perpendicular al plano de ", pues con la interpretación del vector director eso implicaría paralelismo entre F y su rotacional y tampoco necesariamente será así (el rotacional de un simple campo constante es un ejemplo inmediato).

Disculpa, yo no me detuve en lo que dijo julian, solo que cuando lei tu afirmacion sobre planos y vectores me hizo ruido.

Por otra parte cuando afirmas:

pues con la interpretación del vector director eso implicaría paralelismo entre F y su rotacional

para mi estas equivocado en la interpretación de lo que dijo julian, en mi optica lo que dijo julian es (interpretandolo libremente):

En cualquier punto del campo vectorial, el vector del campo (el lo llamo $\vec F$, yo lo voy a llamar $\vec A$ para evitar confusiones con fuerza) es perpendicular al rotor del campo en dicho punto, o de otra forma que el vector rotor de una campo $\vec A$ en un punto es el vector generador de un plano perpendicular a el, que contiene al vector campo en dicho punto.

Para ponerlo en forma un poco mas matemática (hace mucho que no hago esto, así que si hay algún error sepan disculpar y señalar):

Tenemos un campo vectorial $\vec A$ definido en un espacio n-dimensional como:

$\dst \vec A (e_1,e_2,...,e_n)\ =\ \sum_{i = 1}^n A_i (e_1,e_2,...,e_n)\ \hat{e}_i$

y lo que se tendria que cumplir para ser cierto lo expresado por julian es:

$\dst (\vec \nabla \times \vec A)\times \vec A\ \equiv\ \vec 0$

Esto no se si se cumple, y tampoco hice el ejemplo que puso arivasm, pero creo que si lo puso debe ser correcto.

Es un teorema general, aplicable a cualquier campo vectorial.

Tenes razón, no lo puse como un teorema matemático por que solo me acordaba de su aplicación en EM.

Suerte