Dudas en problemas que me estoy preparando para la Olimpiada

[javirk]

Re: Dudas en problemas que me estoy preparando para la Olimpiada

¡¡Wow!! ¡Muchas gracias! Ni se me había ocurrido pensar en números complejos para el primero. Para el segundo, pues no dice nada acerca de si son números naturales, así que me imagino que sí. Muchas gracias otra vez, [Beto]!

Un saludo!

[[Beto]]

Re: Dudas en problemas que me estoy preparando para la Olimpiada

Hola, el primer ejercicio se puede hacer usando inducción, así:

Para 1 producto:

Queremos probar que $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=m^2+n^2$.

Sea $z=a+ib$ y $w=c+id$ dos números complejos, entonces $\overline{z}=a-ib$ y $\overline{w}=c-id$ son sus respectivos conjugados, luego $z\overline{z}=a^2+b^2$ y $w\overline{w}=c^2+d^2$. Entonces

$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=z\overline{z}w\overline{w}$$

y agrupando adecuadamente:

$$\begin{aligned}(a^2+b^2)(c^2+d^2)&=zw\overline{z}\overline{w}\\&=(zw)(\overline{zw})\end{aligned}$$

entonces como $z\in\mathbb{C}$ y $w\in\mathbb{C}$ se tiene que $zw\in\mathbb{C}$, es decir tendrá la forma $zw=m+in$ luego $(zw)(\overline{zw})=m^2+n^2$, que es lo que se quería probar.

Para n+1 productos:

Es decir se supone que se cumple para $n$ productos, resulta de de forma inmediata que se cumple para $n+1$ productos.

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Respecto a la segunda pregunta ¿$p$ es natural? .. de ser así podrías usar inducción también.

[javirk]

Hola, me estoy preparando para la Olimpiada matemática y he sacado algunos problemas, no de otras olimpiadas, pero sí de preparación, ya que muchas de las cosas que salen (al menos yo) no las hemos dado en clase. Estoy empezando por las demostraciones por inducción, y he encontrado unos cuantos problemas en el libro Manual de matemáticas para preparación Olímpica que no sé hacer (posiblemente porque nunca había hecho esto):

- Demuestra que el producto de cualquier número de factores, sumas de dos cuadrados, es a su vez suma de dos cuadrados.--> No sé ni cómo empezar

- Demuestra que:
$2{(p+1)}^{(p+1)}<{(p+2)}^{(p+1)}$

A ver si vosotros me podéis guiar para que me salgan estos.

Un saludo y gracias de antemano.