1r ciclo conjunto de vectores que son base de espacio vectorial

[Julián]

dado un conjunto de vectores $B=({v}_{1},{v}_{2},..{v}_{n})$ estos son una base para el espacio vectorial V si


1)son linealmente independientes
2)generan al espacio vectorial V


Bueno la primera es fácil de demostrar, formo una matriz con los vectores disponiendola en las columnas de la matriz, si el determinante de la matriz es distinto de cero, los vectores son linealmente independientes.
Pero ¿cómo demuestro la segunda?, es decir, ¿como demuestro que genera a todo el espacio vectorial V?. Si generan a V, entonces cualquier vector de V puede escribirse como una combinación lineal de los vectores de la base, pero para demostrar esto tendría que mostrar que todos los vectores de V se generan.


saludos.

[angel relativamente]

Re: conjunto de vectores que son base de espacio vectorial

Bueno, según yo lo veo, lo que has dado es una definición, y por tanto no puedes demostrarla.
Lo que sí que puedes demostrar es que dados vectores $v_1, \cdots , v_n \in \mathbb{R}^m$ (con $m\geqslant n$), el conjunto de vectores generado por estos $n$ vectores es un subespacio vectorial. Para ello solo has de ver que sean $u,\omega$ vectores arbitrarios de $\langle v_1, \cdots , v_n \rangle$ y $\lambda \in \mathbb{R}$, se cumple que $u+\omega \in \langle v_1, \cdots , v_n \rangle$ y $\lambda u \in \langle v_1, \cdots , v_n \rangle$.

Saludos.

[Julián]

Re: conjunto de vectores que son base de espacio vectorial

a lo que me refiero es que puedo demostrar que los vectores son linealmente independientes o no, así por ejemplo formo una matriz asociada con los vectores como columnas de dicha matriz y si el determinante es distinto de cero, el sistema homogeneo asociado tiene única solución, es decir, la trivial, y los escalares que multiplican a los vectores son todos cero. En el caso contrario son linealmente dependientes. ¿pero como demuestro que con esos vectores formo todo el espacio vectorial? ¿mediante el número de vectores que tiene que ser igual al número de componentes de estos?

saludos

[pod]

Re: conjunto de vectores que son base de espacio vectorial

Entiendo que lo que quieres es demostrar que el conjunto de vectores cumple con la definición de base, no demostrar la definición en sí como presuponía Angel. Una forma práctica de hacerlo es la siguiente:

Escribe un vector genérico de V, donde todas las coordenadas sean variables no fijadas; algo del estilo $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$. Iguala este vector genérico a una combinación genérica de los vectores de la base con coeficientes variables, $\lambda_i$. Es decir, acabarás con una ecuación del estilo:

$$(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \cdots + \lambda_n v_n .$$

Para ser un poco más general, es posible que en vez de poner el vector genérico como una n-pla, lo tengas que expresar en términos de otra base ya conocida, $\{e_i\}$. Por supuesto, en ese caso los vectores v también aparecerán especificados en términos de la base conocida.

Bien, ahora lo que tienes que hacer es separar la ecuación anterior por componentes. Eso te dará n ecuaciones de la forma

$$x_i = \sum_j \lambda_j {v_j}^i = \sum_j \lambda_j v_i \cdot e_j .$$

Donde ${v_j}^i$ es la componente i-ésima del vector $v_j$. La segunda igualdad es cierta sólo si las $e_j$ son una base ortonormal (lo cual implica que V debe tener producto escalar definido).

Hasta ahora no hemos hecho nada, sólo escrito un vector cualquiera en términos de la supuesta base. Según los teoremas del álgebra, esto siempre lo podemos hacer si $v_i$ es una base, y los $\lambda_j$ deben ser únicos: siempre podemos escribir cualquier vector de V en términos de esa base. Pues lo que tenemos que hacer es considerar las n ecuaciones anteriores como un sistema de ecuaciones donde las incógnitas son las $\lambda_j$. Si este sistema de ecuaciones tiene solución para cualquier valor de las x_i, entonces las $v_j$ es un sistema de generadores. Porque si tiene solución, significa que para cada vector de V dado por unas coordenadas $x_i$ en una base conocida, entonces siempre puedo encontrar unos $\lambda_i$ que permiten expresar ese mismo vector en términos del conjunto $v_i$. Por lo tanto, es sistema de generadores.

Ejemplo práctico: demostrar que $\{ (1, 1) y (0, 1)\}$ es una base de $\mathbb R^2$. La independencia lineal es fácil de ver. Veamos sistema de generadores (en vez de $x_1$ y $x_2$ uso x e y para ir más rápido):

$$(x, y) = \lambda (1, 1) + \mu (0, 1) .$$

De aquí, tenemos

$$\left.\begin{aligned}<br /> x & = \lambda , \\<br /> y & = \lambda + \mu .<br /> \end{aligned}\right\}$$

Ahora nos toca resolver para $\lambda$ y $\mu$. Podemos hacerlo simplemente restando las dos ecuaciones:

$$\left.\begin{aligned}<br /> \lambda & = x \ , \\<br /> \mu & = y - x .<br /> \end{aligned}\right\}$$

Fíjate que esta solución es válida para cualquier valor de x e y, es decir, para cualquier vector de $\mathbb R^2$ siempre puedo encontrar sus coordenadas $(\mu, \lambda)$ en la base propuesta.

Ejemplo práctico 2: demostrar que $\{ (1,0)\}$ no es una base de $\mathbb R^2$. Siguiendo el mismo procedimiento llegamos a

$$\left.\begin{aligned}<br /> x & = \lambda , \\<br /> y & = 0 .<br /> \end{aligned}\right\}$$

Fíjate que el valor de y queda fijado a 0. Ahora bien, habíamos dicho que, para que el conjunto de vectores propuesto fuera una base, era imprescindible que este procedimiento funcionara para cualquier valor de x e y. Sin embargo, ahora es obvio que cualquier vector de $\mathbb R^2$ donde la segunda componente no sea cero no se puede escribir como una combinación lineal de $\{ (1,0)\}$. Por lo tanto, no es un sistema de generadores, con lo cual no puede ser base.

[neclord02]

Re: conjunto de vectores que son base de espacio vectorial

Pro definición una base será todo el espacio vectorial si sus dimensiones coinciden, es decir si tu espacio vectorial es R2, la base tendrá dos vectores linealmente independientes.
Otra definición que puedes aplicar es que la dimensión del espacio vectorial = dimensión de su base + numero de ecuaciones parametricas. Así que demuestra que la base no tiene ninguna ecuación paramétrica, que es lo que han puesto en el post anterior.

[pod]

Re: conjunto de vectores que son base de espacio vectorial

Pro definición una base será todo el espacio vectorial si sus dimensiones coinciden,

Supongo que por redactar apresuradamente no habrás escrito lo que realmente querías escribir, pero desde luego una base no es "todo el espacio vectorial". Iríamos listos...

En cualquier caso, la definición de base es lo que hemos estado haciendo. Que el número de vectores coincida no tiene nada que ver con la definición, sino que es un teorema que se demuestra a partir de la definición. Por lo general, en las asignaturas donde uno aprende estas cosas se espera que resuelva los problemas a partir de las definiciones.

[Julián]

Re: conjunto de vectores que son base de espacio vectorial

Claro una base no es todo el espacio vectorial sino que es un conjunto de vectores que pertenecen a dicho espacio, que generan dicho espacio y que son linealmente independiente. ¿Esta última condición es para asegurarse de que la cantidad de vectores que generan al espacio vectorial sea la mínima? ya que podemos tener un conjunto generador, por ejemplo de ${R}^{n}$ que tenga una cantidad de vectores $n+1$, estos vectores generan a ${R}^{n}$ pero dicho conjunto es linealmente dependiente, ya que necesariamente un vector es multiplo escalar de otro

[pod]

Re: conjunto de vectores que son base de espacio vectorial

Claro una base no es todo el espacio vectorial sino que es un conjunto de vectores que pertenecen a dicho espacio, que generan dicho espacio y que son linealmente independiente. ¿Esta última condición es para asegurarse de que la cantidad de vectores que generan al espacio vectorial sea la mínima? ya que podemos tener un conjunto generador, por ejemplo de ${R}^{n}$ que tenga una cantidad de vectores $n+1$, estos vectores generan a ${R}^{n}$ pero dicho conjunto es linealmente dependiente, ya que necesariamente un vector es multiplo escalar de otro

Correcto. Esa es la diferencia entre conjunto de generadores y base, la motivación de la definición. Uno puede obtener una base quitando vectores de un conjunto de generadores dependiente (aunque no quitando cualquier vector, sólo los que sean combinación de otros).