1r ciclo Ayuda con demostración de esta igualdad

[alfred_oh]

Buenas tengo que demostrar esta igualdad para n>=2

Me sugieren utilizar esta formula como ayuda

y luego hacer las siguientes operaciones

pero no caigo, no se de que manera me podrían ayudar.
Alguien me puede ayudar porfa? Gracias!

[pod]

Re: Ayuda con demostración de esta igualdad

En primer lugar, por favor, lee el hilo sobre cómo introducir ecuaciones en los mensajes.

Para hacer el problema, simplemente sigue la siguerencia que te dan. Empieza con

$$(1+z)^n = \sum_{k=0}^n {n\choose k} z^k .$$

Deriva una vez respecto z,

$$n (1+z)^{n-1} = \sum_{k=0}^n {n\choose k} k z^{k-1} .$$

Deriva otra vez respecto z,

$$n(n-1) (1+z)^{n-2} = \sum_{k=0}^n {n\choose k} k (k-1) z^{k-2} .$$

Ahora, multiplica por z^2 a ambos lados de la ecuación anterior y separa el sumarorio en los dos términos

$$n(n-1) z^2 (1+z)^{n-2} = \sum_{k=0}^n {n\choose k} k^2 z^k - \sum_{k=0}^n {n\choose k} k z^k .$$

Verás que uno de los dos sumatorios es justamente lo que andas buscando. Puedes sacar el valor del otro sumatorio si tomas la ecuación (2) y la multiplicas por z.