Otras carreras dudas con complejos en forma exponencial

[LauraLopez]

Tengo un par de dudas con numeros complejos

1 ) Por ejemplo si tengo el siguiente numero complejo en notacion pola exponencial : $\dst 12 {e}^{j 19 \° }$

y lo paso a notacion polar seria : $\dst {12}_{19\° }$ esta bien no?

Pero por ejemplo si el numero complejo hubiera sido : $\dst 12 {e}^{j (wt + 19 \°) }$ que cambia? como seria la representacion polar de ese numero? nose donde va esto del "w" en la notacion polar.

2) Otra duda que tengo , si tengo el numero en notacion polar exponencial : $\dst {e}^{j 90\° }$ como es la representacion de ese numero en notacion polar? seria $\dst {1}_{90 \° }$ ? esta bien eso?

3) Y si tengo el caso del numero polar exponencial $\dst {e}^{j }$ cual es su representacion en notacion polar?

4) Si tengo el numero complejo j, ( esta seria su representacion cartesiana) como seria su represetancion polar y polar exponencial?

Gracias

[arivasm]

Re: dudas con complejos en forma exponencial

1) Sería [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , donde, como ya comenté en alguna otra ocasión me podría "rascar" el que se lleguen a mezclar grados con radianes.

2) Sí, es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , pero recuerda que ese número es la unidad imaginaria, es decir, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

3) El argumento de ese número complejo es 1 radián (57,3º), luego, si usas grados, su representación polar es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

4) [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , aunque permíteme que aquí asome mi espíritu tiquismiquis y casi que grite $j=\ee^{j\frac\pi 2}$!!! (es decir, manejando radianes)

[angel relativamente]

Re: dudas con complejos en forma exponencial

En realidad no hay mucha diferencia conceptual entre expresar un número complejo en su forma polar o en su forma exponencial. Ambas nos dan la misma información: Módulo y argumento del complejo. Una forma de expresarlo es así: $\left\vert{} z\right\vert{}_\theta$ (polar) y la otra así $\left\vert{} z\right\vert{}e^{j\theta}$ (exponencial). Para pasar de una a otra solo hay que reordenar sabiendo qué significa cada cosa. Es relativamente indiferente cuál de las dos uses, pues ambas son igual de cómodas para operar (sobre todo para multiplicar, dividir, hacer potencias y raíces, pues para sumas y restas es más simple la binómica). No obstante, quizá la forma exponencial sea más formal a la hora de justificar las operaciones (pues sigue las reglas de las operaciones con exponentes), y por eso es más usada en matemáticas.

PD: Como arivasm, insisto en el uso de radianes.


Saludos

[arivasm]

Re: dudas con complejos en forma exponencial

Lo que sucede es que Laura está estudiando ingeniería y (que me perdonen los ingenieros) ya sabes que son poco rigurosos con ese tipo de detalles, de ahí la mezcla (que tanto nos revuelve las tripas a los físicos) de grados y radianes. Claro que lo mismo dicen los matemáticos de nosotros, los físicos! (por ejemplo con el manejo de las diferenciales)

[inakigarber]

Re: dudas con complejos en forma exponencial

Buenas tardes.
Hace muchos tantos años que deje de estudiar los numeros complejos que fue anterior milenio. Me alegra recordar estos temas y darme cuenta de que no los tengo tan olvidados. Pero hay algo que no tengo muy claro cuando hablais sobre forma polar o forma exponencial.
Cuando los estidie, recuerdo que habia tres formas de dedir exactamente lo mismo.
1) X=A+Bj (en electricidad de usaba la j para no confunfir con la i de intensidad)
2) $X=A\left\vert{\Phi} \right\vert{}$ donde A era el modulo y $\Phi$ el ángulo (forma modulo-argumental)
3) $X=Acos(\Phi)+ASen(\Phi)$
Cual de ellas sería la forma polar ó la exponencial. ¿Existe alguna otra forma de expresar un nímero complejo que desconozco?

Un saludo y a seguir bien.

[angel relativamente]

Re: dudas con complejos en forma exponencial

Hola inakigarber. Lías un poco la notación en tu mensaje, voy a ver si consigo aclararla. Supongamos un complejo en la forma binómica $X=A+Bj$, en la notación que utilizas. Es fácil ver que si el complejo $X$ lo representamos como un vector en $\mathbb{R}^2$, se tiene que $A=\left\vert{}X \right\vert{}\cos \Phi$ y $B= \left\vert{}X \right\vert{}\sin \Phi$, por lo que podemos expresarlo en forma binómica pero dejándolo en función del módulo y el argumento $X=\left\vert{}X \right\vert{}\cos \Phi + j \left\vert{}X \right\vert{}\sin \Phi$. Para facilitar las operaciones, podemos expresar los complejos en su forma polar, dando solo el módulo y el argumento mediante la expresión $X=\left\vert{} X\right\vert{}_\Phi$. Otra forma de expresar los complejos con su módulo y argumento es en la forma exponencial, donde se tiene que $X=\left\vert{} X\right\vert{}e^{j \Phi }$. La famosa expresión de Euler es la que nos relaciona la exponencial con la binómica, pues se tiene que $e^{\Phi j}=cos \Phi + j \sin \Phi$. Como curiosidad, nota que para el caso particular $\Phi=\pi$ se tiene la más aún conocida relación $e^{\pi j}+1=0$.

Saludos

[LauraLopez]

Re: dudas con complejos en forma exponencial

Gracias a todos por la ayuda, primero que nada porque es aconsejable usar radianes en lugar de grados? cual es la razon? si yo pongo por ejemplo $\dst {e}^{j 90\° }$ cual es el problema ? si no estoy mezclando radianes con grados porque el unico termino que tiene alguna de estas unidades en el 90...

Por otro lado :



No entiendo porque es eta igualdad porque esos terminos son iguales a j ?

y tampoco entiendo porque $\dst {e}^{j } = {1}_{57,3 \° }$

[angel relativamente]

Re: dudas con complejos en forma exponencial

Bueno, el argumento de las funciones trigonométricas es, por defecto, en radianes. Estas fórmulas exponenciales se demuestran por el desarrollo de Taylor de las funciones trigonométricas, así que por defecto sigue siendo radianes. En realidad, los ángulos son adimensionales, por eso hay que ser cuidadosos. Para pasar de grados a radianes se multiplica por una constante, así que si en principio se tiene en cuenta esto, no hay mucho problema.

Por otro lado :



No entiendo porque es eta igualdad porque esos terminos son iguales a j ?

Bueno, la idea intuitiva es bien simple. El vector $j$ es un vector unitario sobre el eje y, por lo que tendrá módulo 1 y argumento $\pi/2$ (90º ).Si quieres tirar de definición, recuerda lo de siempre: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

y tampoco entiendo porque

Pues porque por empeñarte en usar grados te has liado con tu notación

Si lo que querías era expresar [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , entonces eso es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Pero si no especificas, el argumento está en radianes, por lo que se tiene que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , como indica arivasm.

[arivasm]

Re: dudas con complejos en forma exponencial

Los físicos no somos muy amigos de mezclar unidades y cuando tenemos grados y radianes preferimos los radianes. El motivo es un poco largo de explicar, pero en el fondo la razón es que mientras que la división de la circunferencia en 360º es debido a un capricho de alguien que vivió hace más de 3000 años (en época de los caldeos y por razones más propias de la magia que de la matemática) la división en $2\pi$ radianes es completamente natural y simplifica muchos problemas.

No pasa nada porque los mezcles, pero siempre que tengas la prudencia de poner el º a los grados, para que no haya confusiones. Eso sí, si tienes que calcular cuánto vale en el instante t=2 s, por ejemplo, 10 rad/s t + 30º (que seguramente aparecerá escrito como 10 t + 30º) , quizá porque debas usarlo para calcular el coseno de ese valor, no puedes teclear en la calculadora cos 50º, sino que deberás tener en cuenta que se trata de 20 rad + 30º = 1146º + 30º = 1176 º. Recuerda que 1 radián es lo mismo que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

Con respecto al [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ten en cuenta que $j=0+1j$, no te costará ver que el módulo es 1 y el argumento es 90º. Es lo mismo que si te piden que pongas en forma polar el vector (0,1).

Por último, $e^j$ significa e elevado j por 1 radián (y que 1 radián = 57,3º).

Por cierto, estas dos últimas dudas tuyas forman parte de las razones por las que a los físicos no nos gustan los grados: ayudan a confundir cosas que no deberían causar problemas.


PD: Veo que Ángel también ha "disparado" al mismo tiempo. Saludos, Ángel!

[LauraLopez]

Re: dudas con complejos en forma exponencial

gracias a ambos ya aclare esas dudas entonces

[inakigarber]

Re: dudas con complejos en forma exponencial

Hola inakigarber. Lías un poco la notación en tu mensaje, voy a ver si consigo aclararla. Supongamos un complejo en la forma binómica $X=A+Bj$, en la notación que utilizas. Es fácil ver que si el complejo $X$ lo representamos como un vector en $\mathbb{R}^2$, se tiene que $A=\left\vert{}X \right\vert{}\cos \Phi$ y $B= \left\vert{}X \right\vert{}\sin \Phi$, por lo que podemos expresarlo en forma binómica pero dejándolo en función del módulo y el argumento $X=\left\vert{}X \right\vert{}\cos \Phi + j \left\vert{}X \right\vert{}\sin \Phi$. Para facilitar las operaciones, podemos expresar los complejos en su forma polar, dando solo el módulo y el argumento mediante la expresión $X=\left\vert{} X\right\vert{}_\Phi$. Otra forma de expresar los complejos con su módulo y argumento es en la forma exponencial, donde se tiene que $X=\left\vert{} X\right\vert{}e^{j \Phi }$. La famosa expresión de Euler es la que nos relaciona la exponencial con la binómica, pues se tiene que $e^{\Phi j}=cos \Phi + j \sin \Phi$. Como curiosidad, nota que para el caso particular $\Phi=\pi$ se tiene la más aún conocida relación $e^{\pi j}+1=0$.

Saludos

Buenas noches; Creo que queda suficientemente aclarado. De todos modos debo confesar que desconocia la Ecuación de Euler que menciobas. Para mi la relación entre i, el número e y los vectores es novedosa. Ahora entiendo porque en algunos post de vectores aparece "e". Anteriormente, dada mi ignorencia de la cuestión, pensaba que era una forma de notación para separar el módulo del argumento.
!!Siempre se apende algo¡¡
Un saludo.