Otras carreras f(t) para Laplace

[LauraLopez]

Determinar F(s) para la siguiente funcion f(t):

Alguna ayuda de como se resuelve?

Por si nose aprecia en la imagen los numeros en el eje vertical son : 1/4 , 1/2 y 1

[Breogan]

Re: f(t) para Laplace

Hola:

Lo 1º que tenes que hacer es escribir tu f(t) tal que el dibujo sea su representación.

Como ayuda para el 1º pulso de amplitud 1 y que se extiende de t=0 a t=1 es:

$\dst f_1(t)=1\ \left[ u(t)-u(t-1) \right]$

si no me equivoco .

La f(t) total sera igual a la suma de las f_i(t) de cada pulso,

Suerte

[LauraLopez]

Re: f(t) para Laplace

Bueno a ver si entendi:

Veo que hay 3 funciones a ser sumadas no? seria :

$\dst f_1(t) = 1 \left[ u(t) - u(t-1)\right]$

$\dst f_2(t) = \frac{1}{2 } \left[ u(t-2) - u(t-3)\right]$

$\dst f_3(t) = \frac{1}{4 } \left[ u(t-4) - u(t-5)\right]$

Asi que $\dst f(t) = u(t) - u(t-1) + \frac{1}{2 } u(t-2) - \frac{1}{2 } u(t-3) + \frac{1}{4 } u(t-4) - \frac{1}{4 } u(t-5)$

Esa seria la f(t), esta bien?

Luego tengo que encontrar la transformada F(s) supongo que debo transformar cada termino y luego sumarlos no?

POr ejempllo el primero sera :

$\dst F_1(s) = \int_0^\infty u(t) {e}^{-st } dt = \int_0^\infty 1 {e}^{-st } dt = \frac{1}{s }$

ya que u(t) = 1 para el intervalo donde integro.

LUego para por ejemplo u(t-1) tengo :

$\dst F_2(s) = \int_0^\infty - u(t-1) {e}^{-st }dt$ y aca que hago? no puedo reemplazarla por 1 porque la misma entre 0 e infinito no vale 1, sino que vale 1 entre 1 e infinito....entre (0,1) valdria cero... tendria que cambiar el intervalo de integracion?

[Breogan]

Re: f(t) para Laplace

Hola:

Bueno a ver si entendi:

Veo que hay 3 funciones a ser sumadas no? seria :

$\dst f_1(t) = 1 \left[ u(t) - u(t-1)\right]$

$\dst f_2(t) = \frac{1}{2 } \left[ u(t-2) - u(t-3)\right]$

$\dst f_3(t) = \frac{1}{4 } \left[ u(t-4) - u(t-5)\right]$

Asi que $\dst f(t) = u(t) - u(t-1) + \frac{1}{2 } u(t-2) - \frac{1}{2 } u(t-3) + \frac{1}{4 } u(t-4) - \frac{1}{4 } u(t-5)$

Esa seria la f(t), esta bien?

Luego tengo que encontrar la transformada F(s) supongo que debo transformar cada termino y luego sumarlos no?

POr ejempllo el primero sera :

$\dst F_1(s) = \int_0^\infty u(t) {e}^{-st } dt = \int_0^\infty 1 {e}^{-st } dt = \frac{1}{s }$

ya que u(t) = 1 para el intervalo donde integro.

Hasta acá creo que es correcto.

LUego para por ejemplo u(t-1) tengo :

$\dst F_2(s) = \int_0^\infty - u(t-1) {e}^{-st }dt$ y aca que hago? no puedo reemplazarla por 1 porque la misma entre 0 e infinito no vale 1, sino que vale 1 entre 1 e infinito....entre (0,1) valdria cero... tendria que cambiar el intervalo de integracion?

Hay que modificar el intervalo de integración, te explico.

Tenemos la integral:

$\dst F_2(s) = \int_0^\infty - u(t-1) {e}^{-st }dt$

por propiedades de la integral definida podemos dividir la anterior en la suma de dos integrales definidas cuyos intervalos de integración sumen el intervalo de la integral original, es decir que podemos hacer:

$\dst \int_0^\infty - u(t-1) {e}^{-st }dt=\int_0^1 - u(t-1) {e}^{-st }dt+\int_1^\infty - u(t-1) {e}^{-st }dt$

pero para la 1º integral del 2º miembro se ve que el integrando es igual a cero, ya que u(t-1)=0 para todo el intervalo de integración (0,1).

Entonces nos queda:

$\dst F_2(s) = \int_1^\infty - u(t-1) {e}^{-st }dt =\int_1^\infty - {e}^{-st }dt = - \frac {\ee^{-s}} s \quad \quad \forall \ s>0$

de la misma forma se resuelven los demás términos.

Nota: en la siguiente pagina de la Wiki hay una tabla de transformadas bastante completa.

Suerte

[LauraLopez]

Re: f(t) para Laplace

gracias, creo que ya entendi, entonces voy haciendo todos los terminos y luego sumo todos los resultados, y entonces la transformada sera valida para s>0 no?

[Breogan]

Re: f(t) para Laplace

Hola:

En general, cada termino de la transformación puede tener un rango de validez propio, y el rango de validez de toda la transformada es la intersección de los rangos individuales, como ya te dije en varios post.

Suerte

[LauraLopez]

Re: f(t) para Laplace

claro...pero me cuesta detectar cual es la estrategia que se usa para detectar cuales son los valores de s que son validos en cada caso, yo miro los valores que hacen que los denominadores sean cero pero creo que no es asi , la verdad nose....

yo obtengo :

$\dst F_1(s)= \frac{1}{ s}$

$\dst F_2(s)= - \frac{{e}^{-s }}{ s}$

$\dst F_3(s)= \frac{{e}^{-2s }}{2 s}$

$\dst F_4(s)= - \frac{{e}^{-3s }}{2 s}$

$\dst F_5(s)= \frac{{e}^{-4s }}{4 s}$

$\dst F_6(s)= - \frac{{e}^{-5s }}{4 s}$

creo que en cada intervalo es s>0 porque es el valor donde el denominado no es cero.... y ademas creo que Arivasm en otro hilo me dijo que la transformada de Laplace siempre son validas para s>0 que para los negativos no son validas, ya cuando Arivasm lea esto me lo confirmara que de seguro lo va a leer

[Breogan]

Re: f(t) para Laplace

Hola:

De nuevo la burra al trigo .

Vamos devuelta, cuando vos queres hacer la transformada de Laplace de una función f(t) lo que haces es realizar una integral según la definición de la transformada, si esta integral existe implica que existe la transformada de f(t) y la llamamos F(s).

No para todas las funciones f(t) existe dicha integral para cualquier valor de s, entonces vos tenes que decir para que valores de s existe esta integral y por ende la transformada.

A este conjunto de valores de s para los cuales existe la integral que define la transformada se lo llama "dominio de la transformada" ó "región de convergencia de la transformada"

P.e.

$\dst f(t)=\ee^{-a\ t}$

la transformada sera:

$\dst F(s)=\mathcal{L}\left[f(t) \right]=\int_0^\infty \ee^{-a\ t} \ \ee^{-s\ t} dt$

$\dst F(s)=\int_0^\infty \ee^{-(a+s)\ t} dt$

$\dst F(s)= \left[ -\frac {\ee^{-(a+s)\ t}}{a+s} \right]_0^\infty$

aplicando Barrow:

$\dst F(s)= \left[ -\frac {\ee^{-(a+s)\ \infty}}{a+s} \right]- \left[ -\frac {\ee^{-(a+s)\ 0}}{a+s} \right]$

El primer corchete va a ser $\infty$ para todo s tal que $s+a<0$, y va a ser igual a cero para todo s tal que $s+a>0$.

El segundo corchete siempre va a ser igual a $\dst -\frac 1 {a+s}$ para todo valor de s.

En consecuencia la integral del ejemplo, y por ende la transformada, solo existe para valores de s tal que $s+a>0$.

Es decir:

$\dst \mathcal {L} \left[ \ee^{-a\ t} \right]=\frac 1 {a+s} \quad \forall \ s\ tal \ que\quad s+a>0$

donde $s+a>0$ es la "región de convergencia de la transformada".

Cuando haces la transformada hallas la región de convergencia, y si usas tablas en ellas figura dicha región para cada función transformada.

Hasta ahí la región de convergencia.

En cuanto a los valores de s que hacen que la función transformada tenga un infinito en ese punto, se llaman polos, y pueden estar dentro o fuera de la región de convergencia, los que están afuera no tienen consecuencias y los otros son motivo de un análisis posterior.

DE ESTO ULTIMO NO ESTOY MUY SEGURO, SERIA BUENO LA CONFIRMACIÓN DE OTRO FORERO


En cuanto a lo dicho por arivasm, siento disentir con el. Dentro de mi ignorancia lo que pude consultar en libros me confirma que s debe pertenecer a los números reales, sin limitarlo a los reales positivos solamente.
Posiblemente en un uso posterior se haga dicha limitación, pero desconozco .

Suerte

[LauraLopez]

Re: f(t) para Laplace

mmm perdona pero creo que sigo sin entender como haces para encontrar los valores para los cuales es valida la funcion ..... para mi la respuesta es s distitno de 0 porque son los valores en que no sea hace cero el denominador en cada una de las F que encontre, esta mal mi respuesta? o mi justificacion? porque? no logro darme cuenta si el resultado llega a ser otro cual podria ser, o que metodo utilizar que no sea mirar los denominadores.....

a lo sumo decir que deberia ser s>0 porque dicen que solo es posible los valores positivos.....

Asumiendo que encontre la transformada por tabla , no podria hacer ese proceso que haces vos de valuar las integrales en infinito y el cero porque solo tengo el resultado final....no se puede mirar la funcion y ver donde se hace cero el denominador?

[Breogan]

Re: f(t) para Laplace

Hola:

mmm perdona pero creo que sigo sin entender como haces para encontrar los valores para los cuales es valida la funcion..

No es la función; es la transformada la que es valida en el rango de valores. "Región de convergencia de la transformada" es el conjunto de los valores de s para los cuales existe la transformada, o sea que existe la integral que define la transformada.

...para mi la respuesta es s distitno de 0 porque son los valores en que no sea hace cero el denominador en cada una de las F que encontre, esta mal mi respuesta?

Esta mal, los valores de s que hacen cero el denominador hacen que la función transformada tome un valor infinito, pero si esa s esta dentro de la región de convergencia de la transformada, sigue existiendo la transformada y toma un valor infinito.

o mi justificacion?

Esta mal

porque?

Son dos cosas totalmente distintas que exista la transformada y que esta transformada (que si existe por que tenes una formula, y tenes un rango de convergencia) tome un valor infinito en ciertos puntos.

a lo sumo decir que deberia ser s>0 porque dicen que solo es posible los valores positivos.....

No es general, tenes que demostrar para cada caso el rango de s. En general s pertenece a los números reales, y puede ser positivo o negativo.

Asumiendo que encontre la transformada por tabla , no podria hacer ese proceso que haces vos de valuar las integrales en infinito y el cero porque solo tengo el resultado final..

Si encontras la transformada por tabla, en la misma tabla esta escrito el rango de convergencia de la transformada.

..no se puede mirar la funcion y ver donde se hace cero el denominador?

No.

En mi post anterior están contestadas estas mismas preguntas y con mas detalle (salvo que me haya equivocado ), te pediría que lo leas nuevamente y me consultes lo que no entiendas de este, ya que lo que haces con tus ristras de cuestiones es que que yo también me sumerja en el berenjenal de tus dudas sin ningún orden, método o referencia.

Para conservar un orden y una comprensión mutua sería bueno que cites la parte en las que tenes dudas, y las plantees debajo de la cita, aunque se trate de todo el mensaje completo.

Gracias

Suerte

[LauraLopez]

Re: f(t) para Laplace

Hola, bueno a ver voy a ver si logre entender....primero encuentro la trasnformada que como dije antes seria :













y luego tengo que hacer lo que me esta costando que es encontrar la region de convergencia. Como tengo varias partes debo encontrar la region de convergencia de cada una de ellas y luego intersectarlas.

Cada una de las transformabas las obtuve por medio de realizar la integral y valuarla en cero e infinito y finalmente llego a los resultados que esto mostrando en este post. Y aca perdoname y teneme paciencia pero no logro entender como obtener la region de convergencia....no logro entender cual es la metodologia a seguir para obtenerla...

Tratemos de hacer por ejemplo la F_2 con detalles a ver si logro darme cuenta como haces el analisis...

tenog que :

$\dst F_2 (s) = \int_0^\infty - u(t-1) {e}^{-st } dt = - \int_1^\infty {e}^{-st } dt = \frac{{e}^{-st }}{s }$ esto valuado entre 1 e infinito que daria

$\dst \frac{{e}^{-s \infty }}{s } - \frac{{e}^{-s }}{s } = - \frac{{e}^{-s }}{s }$ y ahora como se que valores de s son los de la region de convergencia? No comprendo que debo mirar en el resultado para obtener esto.... yo creia que era el denominador pero ya me aclaraste que no es asi....

[arivasm]

Re: f(t) para Laplace

En cuanto a lo dicho por arivasm, siento disentir con el. Dentro de mi ignorancia lo que pude consultar en libros me confirma que s debe pertenecer a los números reales, sin limitarlo a los reales positivos solamente.

No recuerdo bien lo que puse en el hilo que dice Laura. De todos modos, cuando intervienen funciones u(t-a) entiendo que necesariamente debe ser s>0, pues de lo contrario $u(t-a)\ee^{-st}$ tiende hacia una indeterminación a medida que $t\to\infty$ y entonces la integral será divergente.

De todos modos, también someto esto a vuestra consideración.

Revisando textos veo que la variable s es en general compleja, por lo que cuando se acote a los números reales a priori ciertamente puede tomar cualquier valor, positivo o negativo. Por tanto, si lo que afirmé entonces era que siempre debe ser s>0, entonces era erróneo.

[LauraLopez]

Re: f(t) para Laplace

y en cuando a mi pregunta de como obtener la region de convergencia sabes como se hace? porque sigo sin poder lograrlo....

[arivasm]

Re: f(t) para Laplace

Se trata de saber para qué valores de s la integral es convergente, es decir, toma valores finitos. En la mayoría de los casos basta con fijarse en los polos de F(s) y tomar los valores reales mayor que el mayor de ellos. En algunos otros hay que fijarse en la propia integral y ver si es posible que el integrando se dispare hacia infinito cuando $t\to\infty$. Un ejemplo sería la transformada del seno (en realidad, la alternativa a lo que voy a decir sería ver la transformada como una integral compleja, pero eso obliga a manejar conceptos más elaborados). Si miras en las tablas de transformadas, la de $\sin\omega t$ es $\omega/(s^2+\omega^2)$, con lo que un podría pensar que sería válida para todo s (aunque las tablas ya advierten de que no es así). La razón por la que debe ser $s>0$ es que el integrando en $\dst\int_0^\infty\ee^{-st}\sin\omega t\dd t$ se dispara hacia valores infinitos (aunque oscilando) si $s<0$, por culpa de que $\ee^{-st}$ crecerá ilimitadamente, mientras que la función seno está acotada entre -1 y 1.

[Breogan]

Re: f(t) para Laplace

Hola:

$\dst F_2 (s) = \int_0^\infty - u(t-1) {e}^{-st } dt = - \int_1^\infty {e}^{-st } dt = \frac{{e}^{-st }}{s }$ esto valuado entre 1 e infinito que daria

$\dst \frac{{e}^{-s \infty }}{s } - \frac{{e}^{-s }}{s } = - \frac{{e}^{-s }}{s }$ y ahora como se que valores de s son los de la region de convergencia? No comprendo que debo mirar en el resultado para obtener esto.... yo creia que era el denominador pero ya me aclaraste que no es asi....

Primero permitime una pequeña corrección a la 1º formula de la cita:

$\dst F_2 (s) = \int_0^\infty - u(t-1) {e}^{-st } dt = - \int_1^\infty {e}^{-st } dt = \left[- \frac{{e}^{-st }}{s } \right]_1^\infty$

ahora si me permitis reescribo tu 2º formula (la aplicación de la regla de Barrow) de una forma un poco mas formal.

$\dst F_2(s)=\lim_{t \to \infty} \left[ -\frac{{e}^{-st }}{s } \right]-\left[ -\frac{{e}^{-s \ 1 }}{s } \right]$

Por que lo escribi de esta manera? por que el 2º termino del 2º miembro esta totalmente definido ,cuando t=1 no tenemos ningún problema con el; pero el 1º termino del mismo miembro tiene una indeterminación cuando t tiende a infinito, que hay que analizar.

Lo primero que hay que ver es que para que exista F(s) (1º miembro) debe existir el 2º miembro. Es decir que en el intervalo donde la suma de términos del 2º miembro no este definida tampoco estará definido el 1º miembro (la transformada).

Tomemos el termino que nos trae problemas:

$\dst \lim_{t \to \infty} \left[ -\frac{{e}^{-st }}{s } \right]$

Para que valores de s te parece que este limite esta definido; es decir que es distinto de infinito (pudiendo ser una función de s o una constante).

No recuerdo bien lo que puse en el hilo que dice Laura. De todos modos, cuando intervienen funciones u(t-a) entiendo que necesariamente debe ser s>0, pues de lo contrario $u(t-a)\ee^{-st}$ tiende hacia una indeterminación a medida que $t\to\infty$ y entonces la integral será divergente.

De todos modos, también someto esto a vuestra consideración.

Eso creo que es correcto, y resulta que:

$\dst \mathcal{L} \left[ u(t-a) \right]=\frac {\ee^{-a\ s}}s \quad s>0$

pero cunado se trata de transformar una f(t) multiplicada por la función escalón no estoy tan seguro que el dominio sea s>0, tendria que leer mas del tema.

Revisando textos veo que la variable s es en general compleja, por lo que cuando se acote a los números reales a priori ciertamente puede tomar cualquier valor, positivo o negativo. Por tanto, si lo que afirmé entonces era que siempre debe ser s>0, entonces era erróneo.

Totalmente correcto, aunque si en el dominio real es difícil entender el concepto de dominio me parece razonable no complicar las cosas con complejos (por lo menos por ahora)

Suerte