Otras carreras laplace con tabla

[LauraLopez]

Consultando la tabla o usando propiedades encuentre la transformada de Laplace de las siguientes expresiones :

a) $\dst (2-t)$

b) $\dst (2-t) {e}^{3t }$

c) $\dst t {e}^{-3t } \cos (2t + 30^{\circ})$


a) Aca lo que hice fue aplicar la transformada a los 2 terminos por separado asi que seria :

$\dst F(s)= \frac{2}{s } - \frac{1}{s^2 }$

b) Aca tengo que $\dst (2-t) {e}^{3t } = 2{e}^{3t } - t {e}^{3t }$

Y por la tabla de transformada se $\dst L \left( t {e}^{-at }\right) = \frac{1}{{(s+a)}^{2 } }$

Entonces tengo que :

$\dst F(s) = \frac{1}{s + 2 } - \frac{{e}^{ -s}}{s + 2 }$

Les parece que esten bien? no estoy segura...

c) Aca creo que puedo aplicar la propiedad de t-multiplicacion que dice que :

$\dst L \left( t f(t)\right) = - \frac{d}{ds } F(s)$

Entonces tengo que encontrar $\dst F(s) = L \left( {e}^{-3t } \cos (2t + 30^{\circ}) \right)$

ese desfasaje de 30º influeye en algo ?

Lo mas parecido que encontre en la tabla de transformada es :

$\dst L \left( {e}^{-at } \ cos wt\right) = \frac{s + a}{{(s + a)}^{2 } + w^2 }$

PUedo aplicar eso por mas que tenga el 30º ?

Si es asi me quedaria :

$\dst F(s) = \frac{s + 3}{{(s + 3)}^{2 } + 4 }$

y luego derivar eso con respecto a s.....

Estoy haciendo bien este inciso? y los demas estan bien?

Gracias!

[arivasm]

Re: laplace con tabla

b) Aca tengo que $\dst (2-t) {e}^{3t } = 2{e}^{3t } - t {e}^{3t }$

Y por la tabla de transformada se $\dst L \left( t {e}^{-at }\right) = \frac{1}{{(s+a)}^{2 } }$

Entonces tengo que :

$\dst F(s) = \frac{1}{s + 2 } - \frac{{e}^{ -s}}{s + 2 }$

Sería $\dst F(s)=2\frac{1}{s-3}-\frac{1}{(s-3)^2}=\frac{2s-7}{(s-3)^2}$

ese desfasaje de 30º influeye en algo ?

Por supuesto que sí. Una primera salida sería usar la fórmula del coseno de una suma: $\cos(2 t+30^{\circ})=\cos 2t \,\cos 30^{\circ}-\sin 2t\,\sin 30^{\circ}$. Otra sería recurrir a expresiones complejas: $\cos (2t+30^{\circ})=\frac{1}{2}\left[\ee^{j(2t+30^{\circ})}+\ee^{-j(2t+30^{\circ})}\right]$

[LauraLopez]

Re: laplace con tabla

el inciso b tenes razon copie mal nose porque....con respecto al inciso c entonces veo que lo que hice esta mal....como hago entonces? cualquiera de las 2 formas que propones no tengo por tabla como resolverlo.....
Entonces esta mal que aplique la propiedad de t multiplicacion no?

Comos se podria resolver? supongo que usar la primera forma es mas facil porque no tiene complejos

[arivasm]

Re: laplace con tabla

Por ejemplo con la expresión del coseno de la suma: la función sería $\dst \cos 30^{\circ} t \ee^{-3t }\cos 2t-\sin 30^{\circ} t \ee^{-3t }\sin 2t$ por tanto, la transformada sería $\dst \cos 30^{\circ} L[t \ee^{-3t }\cos 2t]-\sin 30^{\circ} L[t \ee^{-3t }\sin 2t]$. Para las dos transformadas usa los teoremas que has indicado en tu primer post, es decir, el de desplazamiento debido al producto por una exponencial y el de la derivada de la transformada, debido al producto por t.

[LauraLopez]

Re: laplace con tabla

ahhh ahi entendi.

Segun la tabla seria :

$\dst L\left( {e}^{ -3t} \cos 2t \right) = \frac{s +3}{(s+3)^2 + 4}$

$\dst L\left( {e}^{ -3t} \sin 2t \right) = \frac{2}{(s+3)^2 + 4}$

y aplicando la propiedad de T-multiplicacion entonces seria :

$\dst L\left( t {e}^{ -3t} \cos 2t \right) = \frac{1}{(s+3)^2 + 4}$

$\dst L\left( t e^{-3t} \sin 2t \right) = 4 \ \frac{s +3}{\left[(s+3)^2 + 4 \right]^2}$

Asi seria? aplique bien la propiedad? el resultado final seria la suma de esas 2 transformadas multiplicadas por las constantes de seno y coseno de 30 que mencionamos antes

[arivasm]

Re: laplace con tabla

Me da la sensación de que tienes mal la derivada de la F(s) del coseno: está claro que falta elevar al cuadrado el denominador y dudo que el numerador sea 1 (con un calculador simbólico muy conocido que hay en la web, veo que el numerador sería $s^2+6s+5$). La del seno es correcta.

[LauraLopez]

Re: laplace con tabla

que programa usas para verificar las cuentas? asi verifico mi resultado...

$\dst \frac{d F(s)}{ds } = \frac{(s+3)^2 + 4 - \left[ (s+3)2 (s+3)\right]}{ \left[ (s+3)^2 + 4\right]^2} = \frac{(s+3)^2 +4 - 2(s+3)^2}{ \left[ (s+3)^2 + 4\right]^2} = \frac{ - (s+3)^2 +4 }{ \left[ (s+3)^2 + 4\right]^2}$

Tenes razon , yo habia simplificado numerador y denominador pero no tienen los mismos signos

[arivasm]

Re: laplace con tabla

He usado el clásico, pero innombrable.