1r ciclo Duda con pequeña demostración

[Melvinci]

¡Hola a todos! Voy a empezar el grado en física el curso que viene, y estoy ya preparándome algunas asignaturas (voy a abrir un hilo con preguntas sobre ese tema cuando averigüe dónde ponerlo) y ahora mismo estaba mirándome Calculus de Apostol. Sé que lo que estoy leyendo ahora no es importante para el año que viene, pero lo he visto y me ha llamado la atención para familiarizarme con el lenguaje y las demostraciones, ya que lo usa como introducción. El problema en cuestión me viene con el "la segunda suma del primer miembro es la suma de los términos de una progresión aritmética cuyo valor es 1/2n·(n-1)" justo antes de fig (1.4) No entiendo qué quiere decir, o al menos no entiendo cómo llega a eso.

Respecto al tema derechos de autor, la copia es legal (o eso creo), del proyecto eduktodos. En cualquier caso no pienso distribuirla.

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Re: Duda con pequeña demostración

La progresión aritmética es la siguiente:

$$1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + (n-1) + n .$$

Que su nombre sea "progresión o serie aritmética" no es algo que debas entender. Es una definición. Alguien le llamó a si y ya está.

Si lo que quieres entender es porqué el resultado de esta progresión es $\frac 12 n (n+1)$, hay una forma muy fácil de razonarlo. Se trata de reoganizar la suma de la siguiente forma: nos damos cuenta de que si sumamos el primer término (1) con el último (n), el resultado es n+1. Ahora sumamos el segundo término (2) con el penúltimo (n-1); el resultado sigue siendo n+1. En general, es fácil darse cuenta que si vamos formando pares de esta forma, el resultado siempre será n+1, porque uno de los miembros del par se incrementa, mientras que el otro disminuye. Además, como tenemos n números en total, podemos crear un total de n/2 pares. El resultado total de la suma es simplemente la multiplicación del valor de cada par por el número de pares: $(n/2)(n+1)$.

[Melvinci]

Re: Duda con pequeña demostración

Muchísimas gracias, muy clara la explicación.

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Re: Duda con pequeña demostración

Si quieres una demostración más formal, es muy sencillo hacerlo con el método de inducción. Lo que no sé es si ya conoces ese método.

[Melvinci]

Re: Duda con pequeña demostración

Aún no, pero es uno de los objetivos este verano. Pinta muy interesante.