1r ciclo Derivada direccional y máximo crecimiento

[leo_ro]

La derivada direccional de una función se define como:

${D}_{u}f(x,y)= \displaystyle\lim_{h \to{}0}{\frac{f(x+ha,y+hb)-f(x,y)}{h }}$

Pero se dice que la máxima variación de la función está en la dirección del vector gradiente. Por ejemplo para la función $f(x,y)={x}^{2}+{y}^{2}$

$\nabla f(x,y)=<2x,2y>$

La dirivada direccional en la dirección de $\vec{v}=<a,b>$ es:

${D}_{u}f(x,y)= \displaystyle\lim_{h \to{}0}{\frac{{(x+ha)}^{2}+{(y+hb)}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}}{h }}$

${D}_{u}f(x,y)= \displaystyle\lim_{h \to{}0}{\frac{{x}^{2}+2xha+{h}^{2}{a}^{2}+{y}^{2}+2yhb+{h}^{2}{b}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}}{h }}$

${D}_{u}f(x,y)= \displaystyle\lim_{h \to{}0}{\frac{2xha+{h}^{2}{a}^{2}+2yhb+{h}^{2}{b}^{2}}{h }}$

${D}_{u}f(x,y)= \displaystyle\lim_{h \to{}0}{\frac{h}{h }[2xa+h{a}^{2}+2yb+h{b}^{2}]}$

${D}_{u}f(x,y)= \displaystyle\lim_{h \to{}0}{[2xa+h{a}^{2}+2yb+h{b}^{2}]}$

${D}_{u}f(x,y)==2xa+2yb$

Como se puede observar el término $2x$ que es del gradiente está multiplicado por $a$, y el $2y$ por$b$. Por lo que la derivada direccional en $\vec{v}$ es mayor que la del gradiente. Me podrían dar una mana con esta duda?

Saludos.

[Al2000]

Re: Derivada direccional y máximo crecimiento

No recuerdo mucho el tema, pero creo que tu falso resultado se origina en que el vector $\vec v$ debe ser un vector unitario. Nota que cuando consideras que la derivada direccional es mayor que el gradiente porque $2xa$ es mayor que $2x$ y $2yb$ es mayor que $2y$ estás asumiendo que tanto $a$ como $b$ son mayores que la unidad, cuando es justo lo contrario (o en todo caso a partir de tu planteamiento no puedes afirmar que $a>1,\,b>1$).

Saludos,

Al

[leo_ro]

Re: Derivada direccional y máximo crecimiento

Claro, tienes razón. Pero ahora me pregunto ¿por qué tiene que ser necesariamente unitario el vector que da la dirección para calcular la derivada direccional? Eso no lo especifica el libro Calculo de varias variables de James Stewards.

Además ahora veo porque el vector gradiente apunta en la máxima dirección, ya que las componentes de este son las derivadas direccionales en donde se le da un incremento de 1 a una de las variables. En cambio para cualquier otra derivada direccional el incremento de la variable es menor a uno. ¿Es por esto que el máximo incremento lo da el gradiente?

Saludos.

[Al2000]

Re: Derivada direccional y máximo crecimiento

Como yo lo veo (un matemático te lo explicaría mejor) es por la misma razón que no defines la derivada de una función como $\dst \lim _{h \to 0} \frac {f(x+2h) - f(x)} h$, es decir, evaluando la función en un punto mas allá del valor de la variable. La derivada direccional básicamente lo que nos dice cuánto cambia la función cuando nos movemos una pequeña distancia $h$ en cierta dirección $\hat v$. Pero si en lugar del vector unitario $\hat v$ tomamos un vector cualquiera $\vec v$, entonces no estaremos evaluando la función a la distancia $h$ del punto de interés sino mas bien estaríamos haciendo la evaluación a la distancia $hv$ (que podría ser mayor o menor que $h$).

Saludos,

Al

[leo_ro]

Re: Derivada direccional y máximo crecimiento

Entonces sería un error definir al gradiente como:

$\nabla f(x,y)= \displaystyle\lim_{h\to{}0}{\frac{f(x+h,y+h)-f(x,y)}{h }}$

Porque ahi le estoy dando un incremento de $1h$ a cada variable. En ese caso el módulo del vector sería $\sqrt{s}>1$. Por lo que se estaría violando la definición tomada.
Así que la manera de encontrar un vector que apunte al máximo crecimiento es dandole a cada componente de este, un crecimiento máximo posible, en este caso $1h$ a una de las variables.

$\nabla f(x,y)= \displaystyle\lim_{h\to{}0}{\frac{f(x+1h,y)-f(x,y)}{h }}\hat{i}+ \displaystyle\lim_{h\to{}0}{\frac{f(x,y+1h)-f(x,y)}{h }}\hat{j}$

Eso es lo que deduzco.

[hennin]

Re: Derivada direccional y máximo crecimiento

Te copio la respuesta a una pregunta similar a la tuya de otro hilo http://forum.lawebdefisica.com/threa...ight=gradiente

Es simplemente la demostración de cuál es la dirección en la que la diferencial alcanza su máximo valor:

Sea diferenciable en . Por definición existe una aplicación lineal que cumple la definición clásica de diferenciabilidad.

Esta aplicación lineal, denotada por , está únicamente determinada por los vectores de la base escogida (la canónica, para simplificar). Por ser lineal, se tiene que:

.

Teniendo en cuenta que si f es diferenciable en un punto, entonces dicha aplicación es justo la derivada direccional en dicho punto (basta tomar con t real, de la definición, y despejar):

con una dirección.

Entonces: .

Luego en el caso en el que comentas, se tiene que .

, cuyo máximo valor se tiene cuando .

Es decir, cuando y como v es una dirección (norma igual a 1), . (si el gradiente es cero, no hay problema, pues la diferencial sería la aplicación nula).

Luego finalmente, obtenemos que la aplicación diferencial alcanza su máximo valor en la dirección , que era justo lo que querías ver.