Secundaria Desigualdad por inducción

[Alephero]

Buenas,

Básicamente quería preguntar una duda. Me plantean el ejercicio d[FONT=Helvetica]e demostrar por inducción que 2^n[/FONT][FONT=arial]≥n^2 para todo n[/FONT][FONT=arial]≥4 natural, ya que no se cumple para n=1, 2, 3. Mi duda es, si para n=1, 2[/FONT][FONT=arial]≥1; y para n=2 4[/FONT][FONT=arial]≥4, como es que me dicen que no se cumple ni para n=2 ni para n=1?[/FONT]

[Weip]

Re: Desigualdad por inducción

Si lo haces comenzando por n=1 o n=2, entonces la hipótesis de inducción no sería cierta porque hay un número más grande que 1 y que 2 que no cumple la propiedad (el 3). Es decir, no podrías suponer cierto que n=k y a partir de ahí probar la propiedad para n=k+1 comenzando por 1 o por 2. Y como no se cumple para n=3, tienes que empezar viendo que se cumple para n=4.

Espero haberte ayudado.

[Alephero]

Re: Desigualdad por inducción

Vale. Pero como sé yo que no se cumple para n=3 si se cumple para n=1 y para k+1 cumpliendose para k? Y ya que estoy, cuando se llega a la parte final de la demostración (demostrar que se cumple 2^(k+1)[FONT=arial]≥(k+1)^2)[/FONT], lo que yo hago es partir de [FONT=Helvetica]2^k[/FONT][FONT=arial]≥k^2 (la hipotesis), multiplicarla por dos, quedándome [/FONT][FONT=Helvetica]2^(k+1)[/FONT][FONT=arial]≥2k^2, y a partir de aquí compruebo para que números se cumple, resolviéndolo como una inecuación. ¿Esto es válido?[/FONT]

[angel relativamente]

Re: Desigualdad por inducción

Vale. Pero como sé yo que no se cumple para n=3 si se cumple para n=1 y para k+1 cumpliendose para k?

En principio si te dice para $n \geqslant 4$ te tiene que importar muy poco lo que pase en los casos $n<4$. No obstante considero que la pregunta subyacente es muy interesante, pues planteas si la inducción puede ser un método de demostración engañoso y si puede haber valores intermedios para los que no se cumpla. La respuesta claramente es no, la inducción funciona perfectamente (de hecho es un axioma de los números naturales). La cuestión está en que si partes de que se cumple para todo n mayor o igual a 1, si eres riguroso en la demostración que sigue llegarás a un paso en el que ves que no es cierto y tendrás que imponerle que $n\geqslant 4$.

Y ya que estoy, cuando se llega a la parte final de la demostración (demostrar que se cumple 2^(k+1)≥(k+1)^2), lo que yo hago es partir de 2^k≥k^2 (la hipotesis), multiplicarla por dos, quedándome 2^(k+1)≥2k^2, y a partir de aquí compruebo para que números se cumple, resolviéndolo como una inecuación. ¿Esto es válido?

Lo primero que haces de multiplicar por 2 está bien. Luego lo de comprobar para qué números se cumple, no sé muy bien qué propones, así que no sé que decirte (puedes desarrollarlo si quieres que le echemos un ojo). Yo haría lo siguiente: Nota que ya tienes que $2^{(k+1)}\geqslant 2k^2$, por lo que si quieres demostrar es que $2^{(k+1)} \geqslant (k+1)^2$ basta ver que $2k^2 \geqslant (k+1)^2$. Para esto puedes plantear de nuevo inducción sobre esta última desigualdad, la cual es bastante sencilla de demostrar. Nota que es en este punto cuando te hubieses estampado si quisieses haber empezado $\forall n \geqslant 1$. Esta desigualdad te impone que $n \geqslant 4$.

Un saludo,

[Weip]

Re: Desigualdad por inducción

Vale. Pero como sé yo que no se cumple para n=3 si se cumple para n=1 y para k+1 cumpliendose para k?

Es que si empiezas comprovando que la propiedad es cierta para n=1 y supones n=k, tienes el problema que k puede valer 3. Y a partir de aquí ya no puedes demostrar nada, necesariamente has de empezar por n=4 para suponer que se cumple para todo n=k.

[Alephero]

Re: Desigualdad por inducción

Vale, entendido.
En cuanto a al desarrollo, Angel, hago lo siguiente: [TEX]2k^2\geq(k+1)^2 \Rightarrow{2k^2-(k+1)^2\geq0} [\TEX] Resolviendo la inequación me queda que cumplen los numeros mayores que 1+[FONT=sans-serif]√2 o menores que 1-[/FONT][FONT=sans-serif]√2. Por lo tanto, lo cumplen los números naturales mayores que tres. Y por lo que veo ahora, si lo demuestro aplicando inducción otra vez llego a que el paso base empieza con k=3. Estoy cometiendo
algún error absurdo del que no me doy cuenta?[/FONT]

[angel relativamente]

Re: Desigualdad por inducción

Por lo tanto, lo cumplen los números naturales mayores que tres. Y por lo que veo ahora, si lo demuestro aplicando inducción otra vez llego a que el paso base empieza con k=3. Estoy cometiendo
algún error absurdo del que no me doy cuenta?

En principio, si no te has confundido al resolver la inecuación, no sería incorrecto (todo y que no sería inducción). De hecho $1+\sqrt 2 < 3$, así que técnicamente tendrías que concluir que lo cumplen los $k \geqslant 3$ igual que en la desigualdad que yo te propongo. Es natural que así sea porque tenías $2^{k+1}\geqslant (k+1)^2 \; \; \forall k \geqslant 3$ que es equivalente a $2^{n}\geqslant n^2 \; \; \forall n \geqslant 4$.

Saludos,

Edito: No me convence nada empezar aplicando inducción y acabar resolviendo esa inecuación. Creo que se puede resolver la inecuación desde un principio sin recurrir a inducción y hacerlo como método de demostración alternativo.

[Alephero]

Re: Desigualdad por inducción

Vale. Entonces aplico inducción otra vez para demostrar el caso n=k+1, llegando a un punto (k(k-2)≥3 en el que k debe ser mayor o igual que tres (y lo es por el caso base), y, como n=k+1, n debe ser mayor o igual que cuatro, demostrando entonces la proposición inicial para todo n natural mayor o igual que cuatro, no?

Muchas gracias por vuestra ayuda.

[angel relativamente]

Re: Desigualdad por inducción

Sí, con eso ya estaría

[Jose D. Escobedo]

Re: Desigualdad por inducción

Vale. Pero como sé yo que no se cumple para n=3 si se cumple para n=1 y para k+1 cumpliendose para k? Y ya que estoy, cuando se llega a la parte final de la demostración (demostrar que se cumple 2^(k+1)[FONT=arial]≥(k+1)^2)[/FONT], lo que yo hago es partir de [FONT=Helvetica]2^k[/FONT][FONT=arial]≥k^2 (la hipotesis), multiplicarla por dos, quedándome [/FONT][FONT=Helvetica]2^(k+1)[/FONT][FONT=arial]≥2k^2, y a partir de aquí compruebo para que números se cumple, resolviéndolo como una inecuación. ¿Esto es válido?[/FONT]

Creo tener la impresión de que ya casi lo resolvias aqui, solamente te falta unos cuantos detalles.

Primero, se comprueba que para $n\geqslant 4$, se cumple que: $2^4 \geqslant 4^2$ es decir $16\geqslant 16$.


Segundo, se supone que $2^n \geqslant n^2 \Rightarrow$

Tercero del segundo cuando este es multiplicado por dos $\Rightarrow 2^{n+1}\geqslant 2(n^2)=n^2+n^2= n^2+n(n)\Rightarrow$
Usando el primer paso varias veces $\geqslant n^2+4n=n^2+2n+2n\geqslant n^2+2n+8\geqslant n^2+2n+1=(n+1)^2$ y por transitividad $\Rightarrow 2^{n+1}\geqslant (n+1)^2$


Saludos
Jose