1r ciclo Interpretación de una derivada respecto de un vector

[gdonoso94]

Hola, estoy utilizando unos apuntes de mecánica que utilizan una notación un tanto extraña. Sea $\phi(\vec{r})$ un potencial gravitatorio, define la fuerza gravitatoria como:

$$\dst \vec{F}(\vec{r})=-m\frac{\partial \phi(\vec{r})}{\partial \vec{r}}$$

Intuitivamente sé que es el gradiente de la función $\phi$, pero no sé cómo interpretar la derivada respecto de un vector. ¿Alguien puede echarme una mano?

Gracias

[Rodri]

Re: Interpretación de una derivada respecto de un vector

Yo creo que no hay nada que interpretar: es una notación sin más (poco frecuente, eso sí)

$\frac{\partial }{\partial \vec{r} }\equiv \nabla$

[pod]

Re: Interpretación de una derivada respecto de un vector

En el caso concreto que tratas, probablemente se refiere al gradiente como dice Rodri.

En general, sí que existe el concepto de derivada respecto de un vector (más comúnmente llamada derivada direccional), pero su valor es escalar, no vectorial como en tu caso. Es la variación de la función en la dirección y sentido del vector (que normalmente se toma unitario):

$$D_{\hat u} \phi(\vec r) = \hat u \cdot \Big( \vec\nabla \phi(\vec r)\Big).$$

[guibix]

Re: Interpretación de una derivada respecto de un vector

Como dice pod, la derivada de un campo vectorial es un campo escalar, pero también es al revés: la derivada de un campo escalar es un campo vectorial.

Salud.

[pod]

Re: Interpretación de una derivada respecto de un vector

la derivada de un campo escalar es un campo vectorial.

Yo lo más parecido que conozco a la derivada primera de un campo escapar es la matriz jacobiana.

[guibix]

Re: Interpretación de una derivada respecto de un vector

Yo lo más parecido que conozco a la derivada primera de un campo escapar es la matriz jacobiana.

Bueno, yo me refería más al hecho de que por ejemplo las derivadas parciales de un potencial escalar son las componentes de un campo vectorial de aceleraciones. A lo mejor mi error ha sido llamar "campo escalar" al potencial.

Saludos.

[gdonoso94]

Re: Interpretación de una derivada respecto de un vector

Gracias por la respuesta. Había deducido lo del gradiente por el contexto, pero no sabía el por qué. Entonces si aplico tu método (pod), ¿no me saldría el resultado deseado?

Un saludo.

[pod]

Re: Interpretación de una derivada respecto de un vector

Gracias por la respuesta. Había deducido lo del gradiente por el contexto, pero no sabía el por qué. Entonces si aplico tu método (pod), ¿no me saldría el resultado deseado?

Un saludo.

Yo no tengo un método con mi nombre para derivar vectores...

Para obtener la fuerza a partir de un potencial tienes que aplicar el gradiente, no una derivada direccional. En eso no hay ninguna duda, más allá de que la notación no sea la más extendida.

[gdonoso94]

Re: Interpretación de una derivada respecto de un vector

Yo no tengo un método con mi nombre para derivar vectores...

Al método mencionado por pod* :P

Para obtener la fuerza a partir de un potencial tienes que aplicar el gradiente, no una derivada direccional. En eso no hay ninguna duda, más allá de que la notación no sea la más extendida.

Ok, muchas gracias.