1r ciclo Cualquier número racional positivo se puede expresar en forma egipcia

[cj2747]

Demuestre que cualquier $r\epsilon \mathbb{Q}^+$ se puede expresar de la forma $r=\sum_{k=1}^n{\frac{1}{a_k}}$ con $a_1,...,a_n \in \mathbb{N}$ distintos

Me he quedado sin ideas, necesito una mano...

[juantv]

Re: Cualquier número racional positivo se puede expresar en forma egipcia

¿tienen que ser los $a_k$ distintos?

disculpa que no lo vea, pero como se expresaría el 1 en la forma $\displaystyle 1 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ con $x \neq y$ y $x,y \in \mathbb N$ ?

[Rodri]

Re: Cualquier número racional positivo se puede expresar en forma egipcia

¿tienen que ser los $a_k$ distintos?

disculpa que no lo vea, pero como se expresaría el 1 en la forma $\displaystyle 1 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ con $x \neq y$ y $x,y \in \mathbb N$ ?

Hombre, en ese caso el sumatorio tendría un solo término, es decir n=1:

$1 = \frac{1}{1}$

[juantv]

Re: Cualquier número racional positivo se puede expresar en forma egipcia

Cierto, no es restringido a dos sumandos en adelante

De todas formas no acabo de verlo para $a_k$ distintos

[cj2747]

Re: Cualquier número racional positivo se puede expresar en forma egipcia

Queda implícito en el enunciado, $1\leqslant a_1$, en sí se trata de una sucesión de números naturales estricitamente creciente.

[Breogan]

Re: Cualquier número racional positivo se puede expresar en forma egipcia

Hola:

Probaste encararlo como la suma de los primeros n terminos de una serie geometrica?

Suerte

[cj2747]

Re: Cualquier número racional positivo se puede expresar en forma egipcia

Lo probaré, no sé a qué te refieras (cómo encararlo usando esa serie), pero déjame pensarlo...

[juantv]

Re: Cualquier número racional positivo se puede expresar en forma egipcia

Breogan,

Disculpa,
¿cual seria la razón común? en :

$\dst \sum_{k=1}^n{\frac{1}{a_k}} = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + ... + \frac{1}{a_n} = \frac{p}{q}$ aun si $a_i \neq a_j$ $\forall i,j$ , $i\neq j$


Gracias

[Breogan]

Re: Cualquier número racional positivo se puede expresar en forma egipcia

Hola:

Breogan,

Disculpa,
¿cual seria la razón común?

$\dst \sum_{k=1}^n{\frac{1}{a_k}} = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + ... + \frac{1}{a_n} = \frac{p}{q}$ aun si $a_i \neq a_j$ $\forall i,j$ , $i\neq j$


Gracias

Solo era una idea, como yo interprete el enunciado:

$\dst q=\sum_{k=1}^n{\frac{1}{a_k}}$

donde la única condición que nos dan es que los ak son distintos y pertenecen a los naturales, nosotros podemos (respetando esto) agregar alguna condición adicional a los ak sin salirnos del enunciado.

La suma de los primeros términos de una serie geométrica esta dada por:

$\dst s=\sum_{k = 0}^n \ a\ r^k =a \ \frac {1-r^n}{1-r}$

si nosotros tomamos a=1, y ademas hacemos r=1/a1 la ultima quedaria:

$\dst s=\sum_{k = 0}^n \ \frac 1 {a_1^k} =1+\frac 1 {a_1}+\frac 1 {a_1^2}+...+\frac 1 {a_1^n}$

pasamos el 1 para el otro miembro y nos queda:

$\dst s-1=\frac 1 {a_1}+\frac 1 {a_1^2}+...+\frac 1 {a_1^n}$

$\dst s-1=\sum_{k = 1}^n \ \frac 1 {a_1^k}$

y de acá saco la equivalencia:

$\dst a_k = a_1^k$

que según mi interpretación no contradice el enunciado.

Igual vuelvo a decir que es solo una idea que no se si es la correcta, o si lleva al resultado correcto.

Suerte

[visitante20160513]

Re: Cualquier número racional positivo se puede expresar en forma egipcia

¿El número de sumandos debe ser finito o puede ser infinito?

[cj2747]

Re: Cualquier número racional positivo se puede expresar en forma egipcia

es finito

[juantv]

Re: Cualquier número racional positivo se puede expresar en forma egipcia

y de acá saco la equivalencia:

$\dst a_k = a_1^k$

que según mi interpretación no contradice el enunciado.

Igual vuelvo a decir que es solo una idea que no se si es la correcta, o si lleva al resultado correcto.

Suerte

Disculpa,

la condición $\dst a_k = a_1^k$ ¿ la impones? ¿ o la deduces ?

(si la deduces no veo muy claro de donde)


gracias por su respuesta

[Breogan]

Re: Cualquier número racional positivo se puede expresar en forma egipcia

Hola:

Como dije:

Solo era una idea, como yo interprete el enunciado:



donde la única condición que nos dan es que los ak son distintos y pertenecen a los naturales, nosotros podemos (respetando esto) agregar alguna condición adicional a los ak sin salirnos del enunciado.

esta claro que la impongo, y que no la deduzco.

Suerte

[juantv]

Re: Cualquier número racional positivo se puede expresar en forma egipcia

si la impones, ademas de el desarrollo que hiciste para conjeturarlo, yo creo que estarías dando una condición para que se cumpla el enunciado , y prácticamente ya estaría ¿no?


Gracias

[Breogan]

Re: Cualquier número racional positivo se puede expresar en forma egipcia

Hola:

Solo propuse un camino que me pareció potable, no es que sepa mucho del tema.

En cuanto a si queda resuelto, creo que no; teniendo en cuenta el dominio de a1 para que se corresponda con el enunciado (ak pertenece a los naturales) habría que ver si los números generados de esa forma se corresponden con todos los racionales positivos, y calculo que habría que ver si no hay puntos que puedan causar problemas.

Igual ahora no tengo tiempo, pero me parece que reemplazando r por 1/a1 en la formula de la suma de la serie geométrica menos uno, nos va a quedar una ecuación que va a relacionar el numero racional q, el numero natural a1 y el orden n. Creo que esta ecuación es la que hay que analizar.

Suerte