1r ciclo Operaciones de mediciones con incertidumbres

[RicardoDelfin]

Hola con todos.
Revisando unos viejos apuntes, encontré una duda que en su momento no resolví y simplemente olvidé. Era la siguiente:

Yo había medido un paralelepípedo con pie de rey y había obtenido estas 3 medidas

• $a=30.800\pm 0.025 mm$
• $b=30.700\pm 0.025 mm$
• $c=11.400\pm 0.025 mm$

Y siguiendo las reglas de operaciones básicas con incertidumbre y utilizando desviación estándar, calculé su volumen ${V}_{T }=10779\pm 27 {mm}^{ 3}$

Hasta aquí todo bien, comprendía el redondeo y el manejo de las cifras significativas. Sin embargo, si quería calcular el volumen de un paralelepípedo cuyos lados eran 100 veces la medida de sus lados originales, los cálculos se me complicaban y comenzaban las dudas.

En mi nuevo paralelepípedo

• $a=100\left( 30.800\pm 0.025 mm\right)=3080.0\pm 2.5 mm$
• $b=100\left( 30.700\pm 0.025 mm\right)=3070.0\pm 2.5 mm$
• $c=100\left(31.400\pm 0.025 mm \right)=1400.0\pm 2.5 mm$

Calculando su volumen, obtenía: ${V}_{T }=10779384000\pm 26690997.64 {mm}^{ 3}$

Y a la hora de expresar mi respuesta es donde tenía y tengo la duda.
Mi incertidumbre inicial $\pm 2.5 mm$ tiene 2 cifras significativas, por lo tanto, mi volumen, luego de efectuar las operaciones debería tener también 2 cifras significativas, pero se ve claramente que no es así. Tampoco puedo redondear el número a 2 cifras significativas, entonces ¿Cómo expreso la incertidumbre de mi volumen?,

• $a=3080.0000000\pm 2.5000000 mm$
• $b=3070.0000000\pm 2.5000000 mm$
• $c=1400.0000000\pm 2.5000000 mm$

¿Tendría que colocar lo anterior para que mi resultado cumpla con las reglas de operaciones básicas con incertidumbres y tener como resultado ${V}_{T }=10779384000\pm 26690998 {mm}^{ 3}$?

Gracias de antemano

[teclado]

Re: Operaciones de mediciones con incertidumbres

Me gustaría saber cuáles son las reglas para las operaciones básicas con incertidumbres que estás usando, porque a mí me sale otra cosa. Teniendo en cuenta:

$(a\pm\Delta a)(b\pm\Delta b)=(ab+\Delta a\Delta b)\pm(a\Delta b+b\Delta a)$
$V_T=(abc+a\Delta b\Delta c+b\Delta a\Delta c+c\Delta a\Delta b)\pm(ab\Delta c+ac\Delta b+bc\Delta a+\Delta a\Delta b\Delta c)$

Me sale

$V_T=10779429562.5\pm41166515.625$

Que redondearía a dos cifras significativas sin ningún prejuicio, quedando

$V_T=(1.0779\pm0.0041)\times 10^{10}$

[RicardoDelfin]

Re: Operaciones de mediciones con incertidumbres

Uso $\left( a\pm \Delta a\right)\left( b\pm \Delta b\right)=\left( ab\right)\pm\left( ab\right)\left(\sqrt{{\left( \frac{\Delta a}{a } \right)}^{ 2}} + \sqrt{{\left( \frac{\Delta b}{b } \right)}^{ 2}} \right)$

Con lo ultimo resolviste mi duda. Muchas gracias!

[teclado]

Re: Operaciones de mediciones con incertidumbres

En ese caso me extraña que las incertidumbres nos hayan salido tan distintas, pues la fórmula es en esencia la misma... Date cuenta que lo que tú tienes es

$\Delta(ab)=ab\left(\frac{\Delta a}{a}+\frac{\Delta b}{b}\right)=b\Delta a+a\Delta b$

Que es lo mismo que tenía yo... En el producto triple solo diferimos en el último término $\Delta a\Delta b\Delta c$.

La fórmula que te di sale directamente de la interpretación de la incertidumbre: Un valor $a\pm\Delta a$ representa en realidad un intervalo desde $a-\Delta a$ hasta $a+\Delta a$. El producto de dos cantidades así expresadas entonces queda acotado entre $(a-\Delta a)(b-\Delta b)$ y $(a+\Delta a)(b+\Delta b)$, siendo el valor medio $\frac{ab+\Delta a\Delta b-a\Delta b-b\Delta a+ab+\Delta a\Delta b+a\Delta b+b\Delta a}{2}=ab+\Delta a\Delta b$ y la desviación $\frac{ab+\Delta a\Delta b+a\Delta b+b\Delta a-ab-\Delta a\Delta b+a\Delta b+a\Delta b}{2}=a\Delta b+b\Delta a$.

Aunque me imagino que tu fórmula sale de tomar logaritmos y derivar nos debería dar algo parecido (tan sólo diferimos en el último término, que vale 15,625 - despreciable).

[juan lopez]

Re: Operaciones de mediciones con incertidumbres

Hola teclado:tus calculos son correctos , salvo que el error absoluto se expresa con una sola cifra significativa