1r ciclo cociente de diferencia

[p3p31v]

Hola chicos,tengo que hacer un ejercicio que parece un poco tonto,he de calcular el valor de h con mas precisión para la derivada de x*(e^x) en x=2 a través de la fórmula f'=(f(x+h)-f(x))/h y haciendo el límite cuando h tiende a cero me sale un valor distinto del de la derivada en ese punto asi que no entiendo nada, ¿alguien me ilumina?

[Weip]

Re: cociente de diferencia

Entiendo que quieres calcular la derivada de $xe^x$ "manualmente" a través del límite (si solo es dar valores a la $h$ y hacer el límite también te puede servir esto). Por definición de derivada:

$\dst\lim_{h \to \ 0} \dst\frac{(x+h)e^{x+h} - xe^x}{h}=\dst\lim_{h \to \ 0}\dst\frac{xe^{x+h}+he^{x+h}-xe^x}{h}$

Usando que $e^{x+h}=e^x e^h$, el anterior límite queda:

$\dst\lim_{h \to \ 0} \dst\frac{xe^x e^h +he^x e^h-xe^x}{h}=\dst\lim_{h \to \ 0} \dst\frac{xe^x e^h -xe^x}{h}+\dst\lim_{h \to \ 0}\dst\frac{he^xe^h}{h}$

Fíjate que el segundo límite ya se puede calcular. Simplificando las $h$ y teniendo en cuenta que $e^0=1$:

$e^x + \dst\lim_{h \to \ 0}\dst\frac{xe^x e^h -xe^x}{h}=e^x+\dst\lim_{h \to \ 0}\dst\frac{xe^x (e^h-1)}{h}$

El límite $\dst\lim_{h \to \ 0}\dst\frac{e^h-1}{h}$ se puede calcular de varias maneras. Yo usaré la desigualdad $1<\dst\frac{e^h-1}{h}<\dst\frac{1}{1-h}$. Está claro que el limite cuando $h$ tiende a de $1$ y de $\dst\frac{1}{1-h}$ es $1$. Entonces, por la regla del Sandwich, la función de enmedio también tiende a uno. Esto lo puedes calcular también a partir de series de Taylor o como prefieras. Nuestro límite inicial dará:

$\dst\lim_{h \to \ 0}\dst\frac{xe^x (e^h-1)}{h}=xe^x$

Finalmente tendremos:

$e^x+xe^x=e^x(x+1)$

Y en el punto $x=2$, la función resultante vale $3e^2$.

Espero haberte ayudado.

PD: Lo he repasado mil veces, pero ten en cuenta que igual he cometido algún error al copiarlo de mi hoja (el proceso es largo).

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Re: cociente de diferencia

Entiendo que quieres calcular la derivada de $xe^x$ "manualmente" a través del límite. Por definición de derivada:

$\dst\lim_{h \to \ 0} \dst\frac{(x+h)e^{x+h} - xe^x}{h}=\dst\lim_{h \to \ 0}\dst\frac{xe^{x+h}+he^{x+h}-xe^x}{h}$

Usando que $e^{x+h}=e^x e^h$, el anterior límite queda:

$\dst\lim_{h \to \ 0} \dst\frac{xe^x e^h +he^x e^h-xe^x}{h}=\dst\lim_{h \to \ 0} \dst\frac{xe^x e^h -xe^x}{h}+\dst\lim_{h \to \ 0}\dst\frac{he^xe^h}{h}$

Fíjate que el segundo límite ya se puede calcular. Simplificando las $h$ y teniendo en cuenta que $e^0=1$:

$e^x + \dst\lim_{h \to \ 0}\dst\frac{xe^x e^h -xe^x}{h}=e^x+\dst\lim_{h \to \ 0}\dst\frac{xe^x (e^h-1)}{h}$

El límite $\dst\lim_{h \to \ 0}\dst\frac{e^h-1}{h}$ se puede calcular de varias maneras. Yo usaré la desigualdad $1<\dst\frac{e^h-1}{h}<\dst\frac{1}{1-h}$. Está claro que el limite cuando $h$ tiende a de $1$ y de $\dst\frac{1}{1-h}$ es $1$. Entonces, por la regla del Sandwich, la función de enmedio también tiende a uno. Esto lo puedes calcular también a partir de series de Taylor o como prefieras. Nuestro límite inicial dará:

$\dst\lim_{h \to \ 0}\dst\frac{xe^x (e^h-1)}{h}=xe^x$

Finalmente tendremos:

$e^x+xe^x=e^x(x+1)$

Y en el punto $x=2$, la función resultante vale $3e^2$.

Espero haberte ayudado.

PD: Lo he repasado mil veces, pero ten en cuenta que igual he cometido algún error al copiarlo de mi hoja (el proceso es largo).

si, no te preocupes que está bien.Es que derivé mal y la derivada me salía distinta de ese valor pero me has refrescado la mente, muchas gracias por tu trabajo