2o ciclo Significado físico del Laplaciano

[leo_ro]

En concreto y en palabras. ¿Qué significa físicamente el laplaciano de una magnitud vectorial? o ¿cómo podemos interpretarlo?

$\Delta \vec{A}= \nabla . (\nabla \vec{A}) + \nabla \times (\nabla \times \vec{A})$

Así por ejemplo, el gradiente. $\nabla A(\vec{r})$, es una magnitud vectorial cuyo sentido fisico del módulo es la variación de la magnitud $A$ con respecto a $\vec{r}$, y cuyo significado físico de la dirección da para donde se da la máxima razón de cambio.

En el rotor $\nabla \times \vec{A}(\vec{r})$ es una magnitud vectorial cuyo sentido físico es la tendencia a rotar del campo vectorial $\vec{A}$ y cuya dirección indica el eje de rotación.

En la divergencia $\nabla . \vec{A}(\vec{r})$ es una magnitud escalar que cuantifica el flujo del campo vectorial $\vec{A}$ en un volumen infinitesimal.

¿Y el lapaciano? El entendimiento físico me sería de gran ayuda ya que en el estudio de las ondas electromagnéticas se utiliza mucho. por ejemplo $\Delta \vec{E}= \mu \varepsilon \frac{{\partial}^{2} \vec{E}}{{\partial t}^{2}}$

[visitante20160513]

Re: Significado físico del Laplaciano

El laplaciano no es más que la divergencia de un campo de gradientes, y por lo tanto su sentido físico es el de una divergencia, pero de un tipo especial de campo vectorial, es decir es la divergencia de un campo irrotacional, de un campo cuyo rotacional es nulo. No sé si te basta con esta respuesta. Puede profundizarse mucho más, ya que por ejemplo las funciones que satisfacen la ecuación que planteas en tu mensaje, la de propagación de las ondas electromagnéticas, tiene un significado físico mucho más profundo en relatividad, ya que las funciones que la satisfacen son precisamente las funciones armónicas en el espacio-tiempo relativista, que es un espacio que como debes saber es cuatridimensional. Tiene una cuarta dimensión de carácter temporal. Las cuatro dimensiones de dicho espacio se representan por las coordenadas $(x,\ y,\ z,\ ict)$ ($i$ es la unidad imaginaria y $c$ es la velocidad de la luz en el vacío). Si te molestas en calcular el laplaciano en un espacio cuatridimensional como éste, la condición de laplaciano nulo (función armónica) te lleva directamente a la ecuación de propagación de las ondas electromagnéticas, por lo tanto podemos afirmar que las ondas electromagnéticas son precisamente las funciones armónicas del espacio-tiempo relativista, afirmación que tiene un sentido físico mucho más profundo que el que se suele dar al laplaciano en los libros de física ya que lo que te está diciendo esa interpretación es que el flujo de la radiación electromagnética en cualquier superficie cerrada (del espacio-tiempo, claro) es nulo. El asunto empieza a ponerse interesante ¿no te parece?

Salu2, Jabato

[leo_ro]

Re: Significado físico del Laplaciano

El laplaciano no es más que la divergencia de un campo de gradientes,

Pero ese es el caso de una laplaciano de un campo escalar. Para un campo vectorial, en coordenadas cartesianas.

$\Delta \vec{ A}= \nabla . (\nabla \vec{A})$ 7

¿Cómo se entiende el gradiente de un campo vectorial?

el flujo de la radiación electromagnética en cualquier superficie cerrada (del espacio-tiempo, claro) es nulo. El asunto empieza a ponerse interesante ¿no te parece?

Jajaja, ni me puedo imaginar como puede ser eso.

[visitante20160513]

Re: Significado físico del Laplaciano

Pues no resulta fácil darle un significado físico al laplaciano de un vector, solo puedo decirte que por definición matemática puede afirmarse la siguiente identidad:

$\Delta\vec A=\nabla^2 \vec A=Grad(Div \vec A) - Rot(Rot\vec A)$

aunque darle significado físico a semejante expresión parece que no va a ser sencillo. No sé si alguien en el foro pueda hacer semejante cosa, yo prefiero no hacerlo porque lo más probable es que lo haga mal y acabe liándote aún mas.

Salu2, Jabato

[leo_ro]

Re: Significado físico del Laplaciano

ahora con el gradiente de la divergencia tiene más sentido. El primer término podría interpretarse como una cantidad cuya magnitud es la razón de cambio de las fuentes escalares del campo $\vec{A}$ y cuya dirección es hacia donde varían más rapidamente. Para el caso eléctrico

$\dst \nabla (\nabla . \vec{D}) = \nabla ( q) = \frac{\partial q}{\partial x} \hat{\imath} + \frac{\partial q}{\partial y}\hat{\jmath} + \frac{\partial q}{\partial z}\hat{k}$


Que en cuanto a módulo es densidad de carga lineal. Que en un onda EM en un medio perfectamente dieléctrico es cero. Y en dirección apunta hacia donde varía mayormente la densidad de carga lineal. Supongo que sirve ya que en una antena dipolar (Hertz) las densidades de carga en los polos de la antena varían según:

$\dst \rho (t) = {\rho}_{0} {e}^{j \omega t}$ , $\dst {\rho}_{0}= \frac{q}{ m} {e}^{j \phi}=\left\vert{} \nabla (\nabla . \vec{D}) \right\vert{} {e}^{j \phi}$
y la dirección es la dirección del campo eléctrico.

Así que el significado físico a mi parecer sería la onda en las cargas, causa escalar de los camposl, por ejemplo cuando una onda de radiofrecuencia incide en el cobre, sabemos que no hay campos eléctricos en su interior pero habrá una onda en las cargas libres.

$\dst \rho (t) = \left\vert{} \nabla (\nabla . \vec{D}) \right\vert{} {e}^{j \phi} {e}^{j \omega t}$

Esta densidad de carga es causa ya que genera una onda reflejada en el metal, en donde el campo E tendrá sentido opuesto al incidente para cancelarlos y mantener la regla de las condiciones de los límites.

El segundo término, es la tendencia a rotar del eje de rotación de $\vec{A}$, En el caso electromagnético, la dirección del eje de rotación de $\vec{E}$ tiene la dirección de $\vec{B}$. Podría interpretarse como la razón de cambio de la causa vectorial de $\vec{A}$, que efectivamente tiene que tener una razón de cambio para que exista una onda EM.

Pero no se como se interpretaría la diferencia de la causa escalar con la causa vectorial y como se expresa esto de una manera más fácil.

[visitante20160513]

Re: Significado físico del Laplaciano

Bueno, si descompones el campo en la suma de otros dos, uno conservativo $\vec C$ y otro solenoidal $\vec S$ (cosa que siempre puede hacerse aunque la descomposición no es única) y habida cuenta de la linealidad del operador nabla, la laplaciana del campo se muestra como:

$\Delta \vec A= Grad(Div\ \vec C + Div\ \vec S)-Rot(Rot\ \vec C+ Rot\ \vec S)=Grad(Div\ \vec C)-Rot(Rot\ \vec S)$

al ser:

$Rot(\vec C)=0\qquad\qquad Div(\vec S)=0$

lo que quizás puede ayudar algo a dar una interpretación física de dicha expresión, porque cada una de las componentes del campo se relaciona con sus propias fuentes de manera independiente al valor de la otra componente, pero aún así la interpretación es compleja.

Puesto que la divergencia de un campo conservativo tiene relación con sus fuentes y ocurre lo mismo con el rotacional de un campo solenoidal (siempre que el campo sea estático, claro) podemos afirmar que la laplaciana de una campo vectorial cualquiera es una función que solo depende de las distribución de sus fuentes y allí donde las fuentes del campo se anulan dicha laplaciana debería anularse, aunque la verdad que no veo como podemos avanzar mucho más en la interpretación física de dicha función.

Salu2, Jabato

- - - Actualizado - - -

Por ejemplo, para un campo electrostático sabemos que su componente solenoidal es nula y por lo tanto la expresión de su laplaciana se convierte en:

$\nabla\vec E=Grad(Div\ \vec E)=Grad\left(\displaystyle\frac{\rho}{\varepsilon_o}\right)$

Para un campo magnetostático la componente conservativa se anula y entonces:

$\nabla\vec B=-Rot(Rot\ \vec B)=-Rot\left(\mu_o\vec J\right)$

[Weip]

Re: Significado físico del Laplaciano

Hola leo_ro, intentaré solventar tu duda. Primero, creo que deberíamos tratar al laplaciano de un campo vectorial como la divergencia del gradiente, y no con expresiones largas, que son más difíciles de interpretar. El gradiente nos da la dirección en que la función crece más rápido. La divergencia nos da la diferencia entre el flujo del campo que entra y del que sale de la superficie de un volumen determinado. Hasta ahí creo que no tienes problemas, pero igual es mejor que lo veas de la siguiente forma.

Imagina que tenemos un campo vectorial $f(x)$ de una sola variable. El gradiante será la derivada de la función respecto $x$. Eso es sinónimo de variación de $f$ con respecto a $x$. Pues ahora, al aplicar la divergencia, te saldrá la variación de la variación de la función respecto $x$. No hay más. Igual con funciones de varias variables cuesta un poco más entenderlo, pero esencialmente es lo mismo pero sumando todas las variaciones. Podrías verlo como la suma de todas las variaciones de las variaciones "en todas direcciones" (en el caso físico son direcciones espaciales).

El ejemplo con una variable es como la aceleración: la variación de la variación (variación de la velocidad) del espacio con respecto al tiempo.

No sé si te habré ayudado. He pensado que con este otro enfoque igual ves la luz, creo que se entiende mejor y es más visual, aunque no mucho más que las demás explicaciones que te han dado.