1r ciclo Duda teorema números complejos.

[azerbayan]

Buenas, tengo una duda con el siguiente teorema:
Una función f analítica en z0 tiene un cero de orden m en z0 si y solo si, existe una función g, analítica y no nula en z0, tal que $f(x)={(z-z0)}^{m}*g(z)$
Mi duda es la siguiente, no se como puede ser g analítica siendo $g(z)=\frac{f(z)}{{(z-z0)}^{m}}$. En z0 g(z) no sería analítica no?
Un saludo.

[Marce_]

Re: Duda teorema números complejos.

Si lo es. $\dst z_{0}$ es una singularidad evitable de $\dst g(z)$. Recordemos que si una función posee una singularidad evitable en $\dst z_{0}$, es analítica y es desarrollable en serie de Taylor en $\dst z_0$. También recordemos que si $\dst f(z)$ tiene un cero de orden m, entonces, $\dst f^{m}(z_{0})\neq 0 \wedge \forall n<m , n \in \mathbb{N}_{0}, f^{n}(z_{0})= 0$


Hay otra propiedad que dice lo siguiente:

$$z_{0}\,\, \text{punto singular evitable de} f(z) \Longleftrightarrow \lim_{z \to z_{0}} f(z) = L \in \mathbb{C} \text{(finito)}$$

Entonces:

$$\lim_{z \to z_{0}} \frac{f(z)}{(z-z_{0})^{m}} \overbrace{=}^{\text{L'H}} ... \lim_{z \to z_{0}} \frac{f^{m}(z)}{m !} = \boxed{\frac{f^{m}(z_{0})}{m !}}$$

Un abrazo.-

[azerbayan]

Re: Duda teorema números complejos.

Gracias Marce