1r ciclo ¿Está el término "función suprayectiva" de más?

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Tal vez mi duda sea tonta pero espero me puedan responder..Hace unos días me encontraba ojeando la sección de preliminares de dos libros que parcialmente tienen el mismo autor: The elements of real analysis de Robert G. Bartle (1964) e Introduction to real analysis de R. G. Bartle y Sherbert (cuarta edición, 2011) y me dí cuenta que difieren en la definición de una función $f:A\rightarrow B$ pues en el primer libro dicen que el dominio $D(f)$ de $f$ es simplemente un subconjunto de $A$, es decir $D(f)\subseteq A$, pero en el otro libro toman $D(f)=A$, ahora, en el primer libro definen lo que es una función inyectiva pero en ningún momento definen lo que es una función suprayectiva, cosa que en el segundo libro sí hacen; ahora, por ejemplo, después de unas cuántas páginas, en ambos libros se aborda el tema de función inversa pero claro, en el primero sólo se pide que la función sea inyectiva y el el segundo que sea suprayectiva, es decir que el rango sea igual al codominio, cosa que es necesaria debido a la definición que dan. Ahora, mi pregunta es ¿cuál sería la definción correcta de una función?, o siendo más específico, ¿el dominio de una función siempre coincide con el "primer conjunto" del producto cartesiano que la contiene?, si por ejemplo defino a la función $f(x):=\frac{1}{x}$ y la denoto como $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, ¿estoy en un error?, ¿lo correcto sería $f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\rightarrow\mathbb{R}$?

P. D. : el título del post mejor sería algo como ¿cuáles la correcta notación de una función? o algo parecido.

[Weip]

Re: ¿Está el término "función suprayectiva" de más?

Lo que pone en los dos libros es correcto. El problema es que se le llama dominio a muchas cosas. Tal como has indicado, el dominio de $f(x)= 1/x$ podría ser los reales, o los reales menos el cero. Ambas afirmaciones son correctas, pero hay que especificar el contexto, porque no es lo mismo el dominio de una función que el dominio de un conjunto. Además, en el dominio también se ha de distinguir entre el dominio como un subconjunto de otro (en tu ejemplo un subconjunto de los reales) y el conjunto.

A todas estas cosas se les llama dominio, por eso hay que decir a qué dominio nos estamos refiriendo. Esto también pasa con la imagen. Piensa que imagen puede ser el conjunto de llegada, o bien una expresión del tipo $g(2)=3$.