Secundaria Rectas y vectores

[The Higgs Particle]

Hola. Tengo aquí un ejercicio de rectas con vectores y todo eso y sé hacerlo, pero no sé cómo expresarlo. Es decir, lo que busco es la mayor rigurosidad matemática posible.

A ver, tengo dos rectas: $r \equiv y = \frac{4x}{ 3} - 18$, y $AB \equiv y = \frac{- 3x + 3 }{ 4 }$, y me dan el punto A, $A(1, 0 )$. Lo que me piden es cuál es el punto $B$ sabiendo que la recta $r$ es la mediatriz del segmento $AB$.

Lo que hago es calcular el punto medio ${P.M}_{r, AB }(9, -6)$. Y sé que para calcular $B$ puedo calcular la "distancia" del $P.M.$ a $A$, ${d}_{A, P.M. } = (x' - x, y' - y)$, de forma que $B = 2d + A$. Pero sé que esto no está bien expresado porque estoy sumando puntos, rectas, y la distancia debería ser un número, $7 u.$, por ejemplo. ¿Cómo debo expresar esta idea matemáticamente? ¿Poniendo $d$ como un vector?

[Weip]

Re: Rectas y vectores

Pero $d$ ya es un vector ¿no? ¿No es la misma $d$ que ${d}_{A, P.M. } = (x' - x, y' - y)$?

[The Higgs Particle]

Re: Rectas y vectores

Hola, Weip. Gracias por contestar.

Lo he escrito porque fue eso lo que yo puse en el último examen que tuve, pero la profesora me tachó el ejercicio entero porque dijo que la distancia no era eso y que estaba sumando unas cosas con otras y no se hacía así. Supongo que se refería a que se puede confundir con la distancia, definida como el módulo del vector. Pero es que entonces no sé cómo ponerlo...

[angel relativamente]

Re: Rectas y vectores

No sé si entiendo. Cuando dices que calculas el punto medio, entiendo que en realidad lo que haces es calcular la intersección entre el segmento AB y la recta r, ¿no?

Luego, entiendo la idea que quieres expresar, pero también entiendo a tu profesora porque has puesto un lío de la leche . Tal como planteas d, en efecto es el vector que va de A a PM, no es una distancia (la distancia sería el módulo, que supongo que sabes como sacarlo). No obstante, ¿para qué quieres saber la distancia si ni tan siquiera te la pide? La operación $B=2d+A$ no es incorrecta en notación si se entiende d como un vector. En geometría afín está definida la suma de punto y vector. No obstante, si quieres la equivalencia, basta que en lugar de A y B pongas $OA$ Y $OB$ como los vectores que van del origen a los puntos A y B respectivamente. Si haces el dibujo geométrico puedes ver muy claro que $OB=2d+OA$ es correcto y de ahí sacas el vector OB, quien te determina directamente el punto B sabiendo que O es el origen.

No obstante, te planteo un método mucho más sencillo. Si ya has sacado el punto de intersección entre AB y r, y además sabes que es punto medio, solo tienes que imponer la condición. Si tienes por ejemplo que B es el punto $(x_B, y_B)$, quedaría $(9,-6)=\left( \dfrac{1+x_B}{2}, \dfrac{0+y_B}{2} \right)$, de donde sacas directamente las coordenadas del punto B.

Un saludo

[The Higgs Particle]

Re: Rectas y vectores

Gracias, Angel!