1r ciclo Obtener formulas para Induccion Matematica

[HighFlyingBird]

Que tal todos. Tengo una duda, ¿como es que se puede llegar a la expresión de igualdad a la hora de realizar una sucesión?, es decir, de donde sale que:

$1+2+3+4+..+n=n(n+1)/2$

Pero quisiera saber para cualquier sucesión en general, como construir esto. Saludos y gracias de antemano.

[MrM]

Re: Obtener formulas para Induccion Matematica

Buenas, si no me equivoco fue Gauss el que inventó ese método cuando su profesora les pidió a los niños de su clase que sumaran 1+2+3+...+100. En lugar de sumar término a término, él pensó lo siguiente:

Tenemos la sucesión S=1+2+3+4+...+98+99+100. No es difícil darse cuenta de que S=100+99+98+...+1 (recuerda la propiedad conmutativa, a+b+c=c+b+a).

Sumando ambas expresiones de S, tenemos S+S=2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+(4+97)+...+(99+2)+(100+1). Si te fijas, todos los paréntesis dan 101 como solución. Como hay 100 sumas que dan 101 como resultado, tendríamos que 2S=100*101 => S=100*101/2

Este es el ejemplo concreto en el que Gauss descubrió la fórmula. En términos generales, tenemos la sucesión $S=a_1+a_2+a_3+...+a_n$. Por la propiedad conmutativa, $S=a_n+a_{n-1}+...a_2+a_1$. Sumando ambas expresiones, obtenemos que $S+S=2S=(a_n+a_1)+(a_{n-1}+a_2)+(a_{n-2}+a_3)...+(a_2+a_{n-1})+(a_1+a_n).$. Es sencillo demostrar que cada uno de los sumandos de esa progresión da como resultado $a_n+a_1$ (es decir, que $a_{n-1}+a_2=a_{n-2}+a_3=a_2+a_{n-1}=...=a_n+a_1$). Teniendo en cuenta que hay n sumas (pues en cada sucesión hay n términos), tenemos que $2S=n(a_n+a_1) \Rightarrow S=\frac{n(a_n+a_1)}{2}$.

Llegamos así a la fórmula que nos permite conocer la suma de todos los elementos de una progresión aritmética. Si no entendiste la explicación o me he saltado algún paso clave házmelo saber, e intentaré explicártelo más claramente.

Un saludo.

[HighFlyingBird]

Re: Obtener formulas para Induccion Matematica

Gracias por responder, me ha quedado muy claro, ahora lo que necesito es saber como obtener este resultado para cualquier $x^n$, no se si podrías ayudarme con esto también, gracias de antemano.

[MrM]

Re: Obtener formulas para Induccion Matematica

Pues desconozco la fórmula para eso, aunque en un libro de matemáticas avanzadas de mi padre he visto las siguientes fórmulas:

$\sum_{i = 0}^m {i}^{p}=\frac{{(n+1)}^{p+1}}{p+1}+\sum_{k = 1}^p \frac{B_k}{p-k+1}\begin{pmatrix}p \\ k \end{pmatrix}{(n+1)}^{p-k+1}$ ($B_k$ es el número de Bernoulli).

En este caso, la base (i) es variable, y el exponente (p) es fijo. Si no me equivoco es el caso concreto por el que preguntabas.

También tenemos esta otra:
$\sum_{i = m}^{n-1}{a}^{i}=\frac{{a}^{m}-{a}^{n}}{1-a}$.

En este caso, la base (a) es fija, y el exponente (i) es variable. A partir de esta expresión, se puede calcular fácilmente el sumatorio de los n primeros números de una serie geométrica de forma $S=a{r}^{k}$. Al ser a una constante, tenemos que $\sum_{k = 0}^n a{r}^{k}=a\sum_{k = 0}^n {r}^{k}$.

A su vez, $a\sum_{k = 0}^n {a}^{k}=\frac{a(1-{r}^{n})}{1-r}$.

Espero que alguna de estas fórmulas te sirva.
Un saludo.

[Visitante]

Re: Obtener formulas para Induccion Matematica

la sucesión de suma al principio también se puede expliccar del siguiente modo:
1+2+3.....+8+9+10
10+1=11
9+2=11
8+3=11
el n+1 se repite n/2 veces
de ahí n(n+1)/2
De esto se dió cuenta Gauss a una edad muy temprana.

Y si quieres demostrar un método por inducción, tienes que ver si se cumple para n=1, y si se cumple para n (suponiéndolo) también se cumple para n+1...

[Weip]

Re: Obtener formulas para Induccion Matematica

Voy a aportar un caso especial que creo interesante para este hilo. Si la suma es de infinitos términos, la cosa cambia un poco. Dado $r\in \mathbb{R}$:

$\dst\sum_{n = n_0}^{+ \infty} r^n=\dst\frac{r^{n_0}}{1-r}$

A esta suma se le llama serie geométrica.

[javier m]

Re: Obtener formulas para Induccion Matematica

Dado $r\in \mathbb{R}$:

$\dst\sum_{n = n_0}^{+ \infty} r^n=\dst\frac{r^{n_0}}{1-r}$

A esta suma se le llama serie geométrica.

Si $n_0=0$ y $r=-1$, se obtiene el famoso $1-1+1-1+1-1+...=\frac12$

Bueno, esa expresión es para $|r|<1$, así que no

[Weip]

Re: Obtener formulas para Induccion Matematica

Si $n_0=0$ y $r=-1$, se obtiene el famoso $1-1+1-1+1-1+...=\frac12$

Bueno, esa expresión es para $|r|<1$, así que no

Por supuesto, la serie converge si $|r|<1$, si no se cumple pues será no convergente. En cuanto al 1-1+1-1+1-1+..., mejor dejémoslo como no convergente, porque si tenemos que explicar las sutilezas de estas cosas nos podemos tirar hasta mañana.

Ahora que me fijo no había puesto lo de la validez de la fórmula, gracias por decírmelo.