Divulgación Números reales

[Visitante]

Según wikipedia, "[FONT=sans-serif]los [/FONT]números reales (designados por ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a losnúmeros irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos"



Sin embargo, ¿los números algebraicos no tienen raíz compleja? Estos no serían más bien parte parte de los números complejos que los números reales¿

[visitante20160513]

Re: Números reales

Sí, es cierto, no todos los números algebraicos pertenecen a los reales, aunque es cierto que todos los números algebraicos pertenecen a los complejos. Esa afirmación parece un error.

$1+i$ es un número algebraico porque es raíz de $(x-1)^2+1=0$, pero claramente no es real.

[pilimafiqui]

Re: Números reales

Los números complejos se dividen en reales e imaginarios

[Visitante]

Re: Números reales

Entonces supongo que a lo que se refiere con otro enfoque es a tan solo a determinados números algebraicos que no sean solución compleja.

[Rodri]

Re: Números reales

Quedándonos en los números reales, yo tengo entendido lo siguiente: pueden ser algebraicos o trascendentes, una de dos.

Números algebraicos: son raíces de una ecuación algebraica, es decir P(x)=0, con P(x) un polinomio de grado arbitrario y de coeficientes ENTEROS
Números trascendentes: NO son raíces de una ecuación algebraica

Los números algebraicos pueden ser racionales o irracionales
Los números trascendentes son todos irracionales, es decir, no pueden expresarse como una fracción entre enteros.

Aparte de esto, existen ecuaciones (algebraicas o no) que no tienen solución en el campo real. Y es ahí donde aparecen los números complejos, que en realidad se definen a partir de los reales. Pero la discusión algebraico/trascendente se refiere al campo real.

[Visitante]

Re: Números reales

Pero las raíces de los números algebraicos pueden ser complejos, y estos no están dentro de los números reales, sino que los números reales es un subconjunto de los números complejos.

R \subset C

[Weip]

Re: Números reales

Pero las raíces de los números algebraicos pueden ser complejos, y estos no están dentro de los números reales, sino que los números reales es un subconjunto de los números complejos.

R \subset C

Rodri ha definido el concepto en los reales, así que poco importan los complejos. Son como las ecuaciones de segundo grado, por poner un ejemplo. Si trabajas en los reales, dices que no tienen solución real y ya está, porque no puedes decir que tengan soluciones complejas. Ahora, si quieres resolver la ecuación en los complejos, entonces das las soluciones complejas. Otro ejemplo sería el cuerpo de descomposición de un polinomio. En resumen, tu puedes resolver tu ecuación en los reales. Si no tiene solución, ese ya es otro tema, porque nuestro interés está en los reales.

Solo es cuestión de especificar donde trabajas. Sí, los reales son un subconjunto de los complejos, pero no existen complejos en los reales (en el sentido que no hay imaginarios, lo digo por el $a+0i$).

[angel relativamente]

Re: Números reales

Solo dos aclaraciones con respecto a lo que se ha dicho:

Según wikipedia, "[FONT=sans-serif]los [/FONT]números reales (designados por ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero)

Supongo que sabes perfectamente lo que son los números racionales, pero no creo que una definición buena sea la de "positivos, negativos y cero". Esa definición se suele usar más para los números enteros, porque si fuese válida para los racionales, ¿por qué no definimos igual los reales?. Los racionales son aquellos que se pueden poner como cociente de dos enteros cualesquiera, con la condición de que el denominador sea distinto de cero.

Pero las raíces de los números algebraicos pueden ser complejos

No se habla de la raíz de números algebraicos, se dice que los números algebraicos son raíces de una ecuación algebraica. Dicho de otro modo: son los números que verifican una ecuación polinómica a coeficientes enteros. Evidentemente no hay que irse muy lejos para ver que estos números pueden ser complejos, por ejemplo en la ecuación algebraica $x^2+1=0$. No obstante, como te aclaran ya Rodri o Weip, esa explicación que has leído es válida si no nos salimos de los reales. De hecho puedes leerlo de otro modo: "Los números reales se dividen en dos subgrupos: los transcendentes y los algebraicos reales". Sería una buena partición ya que son disjuntos (no hay ningún número que esté en las dos categorías a la vez) y además rellenan $\mathbb{R}$ (no hay ningún número real que quede fuera de estas dos categorías). Es como si te empeñas en decir que la típica frase de secundaria de "las ecuaciones de 2º grado tienen 0,1 o 2 soluciones" es falsa porque toda ecuación de 2º grado tiene dos soluciones complejas. En realidad la frase sería cierta si fuese "las ecuaciones de 2º grado tienen 0,1 o 2 soluciones REALES", pero por el contexto donde se explica esta última aclaración del cuerpo al que pertenece la solución a veces se omite.

Saludos

[visitante20160513]

Re: Números reales

No cabe duda que los números reales pueden clasificarse como algebraicos y trascendentes, pero los números algebraicos tal y como se definen habitualmente no son un subconjunto de los reales sino de los complejos.

Salu2, Jabato.

[Visitante]

Re: Números reales

Angel por supuesto que sé que es un número racional al igual que un irracional, esa definición que citaste la extraje de wikipedia.

Y lo que me han aclarado es básicamente lo que suponía, que solo entra en el marco de las raíces reales y no complejas. Solo era una curiosidad que me intrigaba.

[pilimafiqui]

Re: Números reales

El campo de los números complejos o el campo de los números se clasifican en reales e imaginarios.
Los números imaginarios son como conocemos generalmente los números complejos, raiz cuadrada de -4 , 1+i...
y dentro de los números reales tenemos los racionales y los irracionales.
Los irracionales son por ejemplo raiz cuadrada 2, raiz cuadrada de 3 ...
Dentro de los números racionales tenemos los enteros y los fraccionarios.
Los números fraccionarios son los decimal exacto, los periódico puros y los periódicos mixto.
Los números enteros son los positivos ( 1,2,3...) , el cero y los negativos (_1, _2; ...)