1r ciclo Cuadrado de la unidad imaginaria.

[Mossy]

Hola,

estos días en la asignatura de Análisis I, como estamos con complejos, me surgió alguna duda. Que $i^2= -1$ , ¿es algún tipo de definición? Es decir, ¿es una igualdad por definición? Porque claro, se tiene que la función cuadrática es mayor o igual que cero siempre. Se tiene que $(\sqrt{a})^2$ = $\left\vert{} a \right\vert{} \geqslant 0$, $\forall a$ . Luego, $i^2$ = $(\sqrt{-1})^2 = \left\vert{} -1 \right\vert{} = 1$, en principio. Pero como todos sabemos, esto no es así.

Esta duda me surgió al intentar calcular $i^{-1}$ , y lo hice así $i^{-1}$= $\frac{1}{\sqrt{-1} } \frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{-1} }$ = $\frac{i}{\sqrt{-1} \sqrt{-1} }$ , y aquí llega el dilema si pones el cuadrado como $-1$ o como $1$.

De hecho, también tengo visto cosas como estas: $-1= i^2 = i i = \sqrt{-1} \sqrt{-1} = \sqrt{(-1) (-1)} = \sqrt{1} = 1$

[JCA_]

Re: Cuadrado de la unidad imaginaria.

un pequeño aporte (espero) para ayudar en el razonamiento...
recuerda q por ej (4)^(1/2) = 2 o también (4)^(1/2) = -2

[Weip]

Re: Cuadrado de la unidad imaginaria.

Sí, es una definición. El otro signo "no cuenta", se toma solo uno para definir la unidad imaginaria. Ten cuidado con las posibles igualdades que puedas hacer porque puedes llegar a paradojas. Presupones que las raíces funcionan igual que en los reales, pero no es así. El paso de meter los dos números en una misma raíz no es válido. No sé si te enseñarán el porqué de estas cosas, la verdad es que da para mucho. Lo dicho, cuidado con los "prejuicios" que tienes del análisis real.

[angel relativamente]

Re: Cuadrado de la unidad imaginaria.

Porque claro, se tiene que la función cuadrática es mayor o igual que cero siempre.

Lleva cuidado con confundir la variable compleja como ya te han dicho con la real. Lo que tú dices es para la función cuadrática $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, y equivalente con la función raíz cuadrada. Pero de hecho si aplicas la función cuadrática a un número complejo cualquiera no tiene sentido que digas que "es positivo siempre" porque ni tan siquiera está definido el orden en complejos.

[visitante20160513]

Re: Cuadrado de la unidad imaginaria.

Una ecuación de la forma:

$x^2=-1$

no tiene soluciones en el campo real, pero en el campo complejo tiene dos, a saber $\pm i$ y debes llevar cuidado cuando trabajas en el campo complejo con estas cosas y presupones que las propiedades de los complejos son similares a las de los reales, a veces sí, pero a veces no, debes esperar a conocer bien las propiedades de esos números antes de lanzarte a realizar deducciones incorrectas. No hay nada erróneo en las propiedades de la unidad imaginaria, los errores están en la forma que tienes de usarla.

Salu2, Jabato.

[Mossy]

Re: Cuadrado de la unidad imaginaria.

Una ecuación de la forma:

$x^2=-1$

no tiene soluciones en el campo real, pero en el campo complejo tiene dos, a saber $\pm i$

Claro, y precisamente mi duda era precisamente por qué $i^2$ se toma como $-1$ y no como $+1$ o incluso como $\pm 1$, si se escogió en su día así por definición o por qué era.

Es cierto, como dice Ángel, que no tiene sentido lo de mayor o igual que cero en el cuerpo de los complejos, pero aún así me sigue pareciendo algo raro.

[visitante20160513]

Re: Cuadrado de la unidad imaginaria.

Pues el origen de los números complejos, al menos históricamente hablando, es bastante confuso, porque durante mucho tiempo los algebrístas utilizaron la unidad imaginaria (o más bien las raíces cuadradas de los números negativos) sin saber porqué lo hacían pero constatando que se llegaba a resultados correctos haciendo eso. Hubo dos grandes matemáticos que dieron impulso a esa rama de las matemáticas y fue gracias a ellos por lo que hoy disfrutamos de una bella teoría, formalmente correcta y de múltiples aplicaciones. Me refiero a Euler primero y después a Gauss que dieron la forma definitiva a la teoría de los números complejos. No es fácil explicar que es $i$, no tiene una definición intuitivamente sencilla, aunque no por ello debemos pensar que existen errores en su definición, nada más lejos de la realidad, las funciones de variable compleja constituyen hoy en día una de las ramas de la matemática más bella y de múltiples aplicaciones en la tecnología y en la física teórica. No hay nada raro en ello, pero para trabajar con números complejos debes antes familiarizarte con la teoría, porque sino corres el riesgo de cometer los errores que ya has visto, que a ti te parecen razonables porque no conoces la teoría pero que a los que estamos más familiarizados con ella tus argumentos nos resultan completamente erróneos, trasnochados y fútiles. Es muy comprensible, le ocurre a mucha gente, pero ten paciencia, cuando estudies el campo complejo en profundidad entenderás todas estas cosas de forma hiperclara, así que debes tener paciencia y aprender paso a paso, sino solo perderás el tiempo miserablemente.

Salu2, Jabato.

[Mossy]

Re: Cuadrado de la unidad imaginaria.

Y todo eso que dices cuándo se ve? Porque yo hice 1º de Matemáticas, y di números complejos en una asignatura de Análisis, pero nunca nos explicaron nada de todas estas cosas. Nos enseñaron a trabajar con ellos, nos contaron algo de historia, pero yo por lo menos sigo un poco confuso con este tema. Y ahora en Física lo estamos viendo con aún menos profundidad, claro. Sé que en segundo tengo una asignatura de variable compleja, ¿pero ahí se ven los complejos con más profundidad?

También sigo algo confuso con lo que dijo Weip de que meter los dos números en la raíz no es válido. Porque por ejemplo, $\sqrt{-4} = \sqrt{4} \sqrt{-1} = \pm 2 i$ . A mí eso sí que me lo enseñaron. Entonces, ¿se pueden sacar pero no meter dentro de la raíz?

[Weip]

Re: Cuadrado de la unidad imaginaria.

Y todo eso que dices cuándo se ve? Porque yo hice 1º de Matemáticas, y di números complejos en una asignatura de Análisis, pero nunca nos explicaron nada de todas estas cosas. Nos enseñaron a trabajar con ellos, nos contaron algo de historia, pero yo por lo menos sigo un poco confuso con este tema. Y ahora en Física lo estamos viendo con aún menos profundidad, claro. Sé que en segundo tengo una asignatura de variable compleja, ¿pero ahí se ven los complejos con más profundidad?

También sigo algo confuso con lo que dijo Weip de que meter los dos números en la raíz no es válido. Porque por ejemplo, $\sqrt{-4} = \sqrt{4} \sqrt{-1} = \pm 2 i$ . A mí eso sí que me lo enseñaron. Entonces, ¿se pueden sacar pero no meter dentro de la raíz?

Pues a mi todo esto me lo enseñaron en primero de matemáticas. ¿Qué hacíais si no de números complejos? También es posible que lo dieras pero no te dieras cuenta de estos detalles.

Te explico lo de las raíces. Lo primero, raíz de menos 4 da $2i$. Recuerda que si no pones nada delante de la raíz, se escoge la positiva. El caso, un producto de raíces se puede juntar bajo una misma raíz si la suma de los argumentos principales de los dos números complejos en cuestión están entre $-\pi$ y $\pi$ (la implicación inversa también es válida). En el ejemplo del primer mensaje, el argumento suma $2 \pi$, así que ese paso no es válido. Y si te fijas, con el menos cuatro lo puedes hacer sin problemas.

Así son los complejos. También estate atento de no confundir la raíz de un número con la función raíz. Otro ejemplo, la raíz $n$-ésima de un número complejo tiene $n$ soluciones. Y como esta, los complejos están plagados de "trampas". Ves con muchísimo cuidado, no des nada por evidente. Aunque las llames igual, no son las mismas operaciones que en los reales.

[Mossy]

Re: Cuadrado de la unidad imaginaria.

Pues a mi todo esto me lo enseñaron en primero de matemáticas. ¿Qué hacíais si no de números complejos?

Los ejercicios básicamente eran de operaciones y representación, demostrar cosas, calcular raíces y representarlas, resolver ecuaciones, ...
No me acuerdo ahora de todo. Pero de lo de las raíces, si lo dimos, no me acuerdo la verdad.

También es posible que lo dieras pero no te dieras cuenta de estos detalles.

Yo es que había entrado un poco tarde, llegué en las últimas clases de complejos, y estos apuntes me los dejaron. Les echaré un vistazo más a fondo a ver si encuentro algo, ya que estaban un poco desordenados.

[jinawee]

Re: Cuadrado de la unidad imaginaria.

Que $i^2=-1$ sea una definición o no es cuestión de preferencia personal. En mucho libros la unidad imaginaria de define como el par $i=(0,1)$, que aplicando el producto entre complejos da como teorema $i^2=(-1,0)=-1$.

[sater]

Re: Cuadrado de la unidad imaginaria.

Pero para ello tienes que definir el producto entre complejos (que es como a mi me lo presentaron) y queda como menos elegante (en mi opinión) definir un producto como ese a definir que ${i}^{2}=-1$ y verificar que el producto entre dos complejos queda asi.