Primaria Demostración

[Visitante]

Demostrar que el número es natural para todo n natural.
(2n)!/(n!n!)


Evidentemente n! se suprime quedando (2n* (2n-1)*(2n-2)*(2n-3)....(n+1))/(n!)

Pero a partir de ahí no puedo continuar ¿Alguna sugerencia?

[Umbopa]

Re: Demostración

No he hecho muchos de este tipo de problemas en mi vida, pero ¿ y por inducción ?

$\frac{(2 n)!}{n! n!} = \frac{2n (2n-1)....(n+1)}{n (n-1)...1}$

Probamos para $n=1$ y efectivamente $\frac{2}{1} = 2$

Si se cumple que $\frac{(2 n)!}{n! n!}$ es natural, ¿ también lo es $\frac{(2 (n+1))!}{(n+1)! (n+1)!}$ ?

Veamos

$\frac{(2n+2) (2n+1)(2n)(2n-1)....(n+2)}{(n+1) (n)...1} = \frac{(2n+2) (2n+1)}{(n+1)}\frac{2n (2n-1)....(n+1)}{n (n-1)...1} = 2 (2 n +1)\frac{2n (2n-1)....(n+1)}{n (n-1)...1}$

$\frac{(2 (n+1))!}{(n+1)! (n+1)!}= 2 (2 n +1) \frac{(2 n)!}{n! n!}$

y entonces queda probado

[Visitante]

Re: Demostración

¿Pero y si resulta que (2n(2n+1)...(n+1))/(n(n1))...1 es fraccionario?
Le he estado dando vueltas y he pensado que:
((2n)!)/(n!n!)=C(2n,n) Y las combinaciones siempre son números naturales ¿no?.

[Umbopa]

Re: Demostración

¿Pero y si resulta que (2n(2n+1)...(n+1))/(n(n1))...1 es fraccionario?

de eso se trata la inducción supones que válido para n y demuestras que entonces tiene que ser válido para n+1. De tal forma que si es válido para n=1 también lo es para n=2, y si es válido para n=2 también lo es para n=3 etc.

http://es.wikipedia.org/wiki/Inducci...atem%C3%A1tica

[Visitante]

Re: Demostración

Pero ello no demuestra que sea un número natural.

[Umbopa]

Re: Demostración

Pero ello no demuestra que sea un número natural.

Sí mira, yo te he demostrado que

$\frac{(2 (n+1))!}{(n+1)! (n+1)!}= 2 (2 n +1) \frac{(2 n)!}{n! n!}$

o escrito de otra forma

$A_{n+1} = 2 (2 n +1) A_{n} \hspace{2cm} A_{n} = \frac{(2 n)!}{n! n!}$

Para n=1 sabes que es igual a $A_1=2$ que es natural, entonces según la propiedad de arriba para n=2 también tiene que ser natural ya que $A_2 = 2(2 \cdot 1 + 1) A_1 = 6 A_1$, entonces si $A_2$ es natural también los será $A_3$ ya que $A_3 = 2(2 \cdot 2 +1) A_2 = 10 A_2$ y si repites este proceso tiene que ser válido para todos los naturales, esto es demostrar por inducción

[Visitante]

Re: Demostración

Pero si se da el caso de que An sea un número decimal?

[Samir M.]

Re: Demostración

Otra manera: podrías demostrar que el número de subconjuntos de {1,2,..., 2n} que tienen tamaño n es ese número. O sea, que hay (2n)!/(n!n!) subconjuntos de tamaño n. Entonces está claro que los n son enteros. Por inducción creo que no es posible porque estás asumiendo lo que quieres demostrar.

- - - Actualizado - - -

Bueno, aunque si podrías usar inducción para demostrar que todos los coeficientes binomiales son enteros.

- - - Actualizado - - -

$\frac{(2 (n+1))!}{(n+1)! (n+1)!}= 2 (2 n +1) \frac{(2 n)!}{n! n!}$

y entonces queda probado

querrás decir $\displaystyle \frac{(2 (n+1))!}{(n+1)! (n+1)!}= \frac{2 (2 n +1)}{n+1} \frac{(2 n)!}{n! n!}$ ¿no?

[Visitante]

Re: Demostración

Otra manera: podrías demostrar que el número de subconjuntos de {1,2,..., 2n} que tienen tamaño n es ese número. O sea, que hay (2n)!/(n!n!) subconjuntos de tamaño n.

Pero eso ya lo propuse yo, no como la cantidad de subconjuntos sino como una combinación C(2n,n), que puede ser cualquier cosa de combinación de 2n elementos tomados de n maneras sin repetición y sin importar el orden.

¿se os ocurre alguna otra manera?

[arivasm]

Re: Demostración

¿Pero y si resulta que (2n(2n+1)...(n+1))/(n(n1))...1 es fraccionario?
Le he estado dando vueltas y he pensado que:
((2n)!)/(n!n!)=C(2n,n) Y las combinaciones siempre son números naturales ¿no?.

La demostración que ha hecho Umbopa en el post #2 es impecable. Mírate en qué consisten las demostraciones por inducción: http://es.wikipedia.org/wiki/Inducci...atem%C3%A1tica

En esencia es como lo ha hecho él: primero se verifica el cumplimiento para el primer caso de la sucesión; después se comprueba que si se supone válido el caso n-simo entonces también implica que lo será el n+1. Si es así entonces es válido para cualquier n. Ten en cuenta que una vez comprobado para n=1, la segunda parte de la demostración implica que es válido para n=2, y entonces, por el mismo motivo, para n=3, de manera que también se cumple para n=4, etc.

[Visitante]

Re: Demostración

Y no hay alguna otra manera?

[arivasm]

Re: Demostración

Ciertamente. De hecho, encuentro correcta tu propuesta de que $\frac{(2n)!}{n!n!}$ es igual al número de formas de tomar n elementos de un conjunto formado por 2n y, evidentemente, dicha cantidad es un número natural.

Mi aportación anterior sólo hacía referencia a tu pregunta sobre si la demostración de Umbopa podría invalidarse porque para algún n la operación fuese fraccionaria.

[angel relativamente]

Re: Demostración

Y no hay alguna otra manera?

Y siguiendo con lo que dice arivasm, más allá de que evidentemente existen otras maneras y es interesante estudiarlas, te recomiendo que te mires mucho el método de demostración por inducción. Sirve para demostrar muchísimas cosas, y en las olimpiadas seguro que te ayuda bastante. Y lo mejor de todo es que se sustenta en un axioma de los números naturales

[Visitante]

Re: Demostración

Yo solo pedía algún otro método porque pensaba que quizá el método de inducción no servía en las olimpiadas.

[Weip]

Re: Demostración

Yo solo pedía algún otro método porque pensaba que quizá el método de inducción no servía en las olimpiadas.

¿Y porqué no iba a servir? Es un método básico y muy útil de demostración, no creo que esté prohibido o algo. Si no lo pone en la normativa, es que te lo dejan utilizar (mal irían prohibiendo un método tan importante).