Demostración

[Samir M.]

Re: Demostración

La demostración que ha hecho Umbopa en el post #2 es impecable. Mírate en qué consisten las demostraciones por inducción: http://es.wikipedia.org/wiki/Inducci...atem%C3%A1tica


En esencia es como lo ha hecho él: primero se verifica el cumplimiento para el primer caso de la sucesión; después se comprueba que si se supone válido el caso n-simo entonces también implica que lo será el n+1. Si es así entonces es válido para cualquier n. Ten en cuenta que una vez comprobado para n=1, la segunda parte de la demostración implica que es válido para n=2, y entonces, por el mismo motivo, para n=3, de manera que también se cumple para n=4, etc.

¿Y porqué no iba a servir? Es un método básico y muy útil de demostración, no creo que esté prohibido o algo. Si no lo pone en la normativa, es que te lo dejan utilizar (mal irían prohibiendo un método tan importante).

No se puede hacer por inducción simplemente porque no se cumple. En efecto,


$\displaystyle \frac{(2 (n+1))!}{(n+1)! (n+1)!}= \frac{2 (2 n +1)}{n+1} \frac{(2 n)!}{n! n!}$


que evidentemente falla para $n = 2$ ya que $\displaystyle \frac{2 (2 n +1)}{n+1}$ es igual para $n = 2$ a $\displaystyle \frac {10}{3}$

En definitiva, se puede usar inducción para probar que todos los coeficientes binomiales son números naturales pero no podemos decir nada sobre $\displaystyle \frac{(2 n)!}{n! n!}$ usando esta inducción.

Otro posible camino: como podemos escribir $\dfrac{2n!}{n!n!}=\displaystyle\binom{2n}{n}$ podemos aplicar la identidad de pascal para obtener $\displaystyle\binom{2n}{n}=\binom{2n-1}{n-1}+\binom{2n-1}{n}$

Saludos.

[Weip]

Re: Demostración

No se puede hacer por inducción simplemente porque no se cumple.

No me refería a la demostración, pero de todas formas para n=2 el número de la expresión completa que has puesto da 20, no veo el problema. Sí, una de las fracciones da decimal, pero no has acabado de multiplicar.

[Visitante]

Re: Demostración

Weip tiene razón

[arivasm]

Re: Demostración

Y samir también la tiene, cuando dice que no es cierta la demostración por inducción que hizo Umbopa (por el error en el denominador que también se me pasó por alto) y, entonces, que me equivoqué cuando dije que era impecable.

[Samir M.]

Re: Demostración

A ver, no sé si me explico mal o si me estoy colando todo el rato.

Deseamos demostrar por inducción que $\displaystyle \frac{(2n)!}{n! n!} \in \mathbb{N}$ con $n \in \mathbb{N}$. Por inducción:

Veamos que se cumple para $n = 1$: $n = 1 \to \displaystyle \frac{(2n)!}{n! n!} = 2 \in \mathbb{N}$

Hipótesis de inducción: supongamos que se cumple para $n$. Luego, ahora, hasta el momento, sabemos que $\displaystyle \frac{(2n)!}{n! n!} \in \mathbb{N}$

Entonces para $(n+1)$ también ha de cumplirse. Así,

$\displaystyle \frac{(2 (n+1))!}{(n+1)! (n+1)!}= \frac{2 (2 n +1)}{n+1} \frac{(2 n)!}{n! n!}$.

Definamos ahora

$A =\displaystyle \frac{(2 n)!}{n! n!} \, , B = \frac{(2 (n+1))!}{(n+1)! (n+1)!}$

además sabemos de la hipótesis de inducción que $A \in \mathbb{N}$


Así, lo que queremos demostrar es que $B \in \mathbb{N}$, pero $\displaystyle B = \frac{2 (2 n +1)}{n+1} A$ y como $A \in \mathbb{N}$ entonces para probar que $B \in \mathbb{N}$ se debe cumplir que $\displaystyle \frac{2 (2 n +1)}{n+1} \in \mathbb{N} \, \forall n$ lo cual obviamente no se cumple para n = 2, luego no podemos hacer la demostración por esta inducción.


El hecho de que $\displaystyle \frac{2 (2 n +1)}{n+1} \cdot A \in {N}$ para n = 2 no implica que $\displaystyle \frac{2 (2 n +1)}{n+1} \in {N}$ (el mismo caso n = 2 es un contraejemplo. pd: podríamos haber cogido cualquier n en vez de n = 2 y se seguiría sin cumplir) que es lo que necesitamos para completar la demostración. No nos dice nada sobre B, puede que sea natural, o puede que no. Lo que está claro es que para completar la demostración por inducción hay que demostrar que B es natural y para ello hay que mirar que $\displaystyle \frac{2 (2 n +1)}{n+1} \in {N} \, \forall n$ pero hemos visto que no se cumple para n = 2.

Pd: Si a alguien le molesta la negrita que me lo comunique y la suprimo.

Saludos.

[Breogan]

Re: Demostración

Hola:

Demostrar que el número es natural para todo n natural.
(2n)!/(n!n!)

Como ya te han dicho el principio de inducción es una herramienta muy útil, poderosa, y la cual no podes dejar de conocer, sobre todo en el ámbito matemático.

Borre una parte del presente mensaje, ya que luego de publicado me di cuenta que samir tiene razón, y la demostración de Umbopa no es correcta.


Como numero combinatorio lo podrías escribir como:

$\dst A_n = \frac {(2 n)!} {n! \ n!} = \left(\begin{aligned} 2 n \\ n \end{aligned} \right) = \frac {(2 n )!} {n! \ (2 n - n )!} = \frac {(2 n)!} {n! \ n!}$

que por su origen probabilistico debe ser entero "cantidad de eventos al extraer n elementos de un conjunto que contiene 2n elementos sin orden ni repetición" , pero no creo que nadie tome esto como una demostración formal del problema.

Solo para mi satisfacción, no porque sea necesaria, voy a intentar otra demostración. Reemplazo los factoriales por su expresión como productorias:

$\dst n! =\prod_{i = 1}^n \ i \quad y \quad (2n)! = \prod_{i = 1}^{2n} \ (2n + 1 - i)$

$\dst A_n = \frac {\dst \prod_{i = 1}^{2n} \ (2n + 1 - i)} {\dst \prod_{i = 1}^n \ i \ \prod_{i = 1}^n \ i }$

Ahora podemos descomponer la productoria del numerador como:

$\dst \prod_{i = 1}^{2n} \ (2n + 1 - i) = \dst \prod_{i = n + 1}^{2n} \ (2n + 1 - i) \ \dst \prod_{i = 1}^{n} \ (2n + 1 - i)$

y como:

$\dst \prod_{i = n + 1}^{2n} \ (2n + 1 - i) = n \ (n - 1) \ (n - 2) \ldots 2 \ 1 = \prod_{i = 1}^n \ i$

Resulta que:

$\dst A_n = \frac {\dst \prod_{i = 1}^{n} \ (2n + 1 - i)} {\dst \prod_{i = 1}^n \ i }$

Ahora falta demostrar que el denominador aparece como un multiplicando en el numerador, de forma que se pueda simplificar con el denominador.
Después lo sigo en este mismo post, ahora no puedo seguir.

s.e.u.o.

Suerte.