1r ciclo ¿Es necesario demostrarlo por inducción?

[MrM]

Buenas, mi profesor de análisis nos mandó un ejercicio. Aunque no especifica explícitamente que lo hagamos por inducción, nos ha mandado el problema justo cuando hemos estamos dando el método de inducción, por lo que es probable que quiera que lo hagamos así.

El problema es el siguiente:

Demostrar que ${3}^{n}-1$ es divisible por dos, siendo n cualquier número natural.


Bien, el problema es muy sencillo.
1)Demostramos que se cumple para n=1: 3-1=2, que es divisible por dos.
2) Aceptando la hipótesis ${3}^{n}-1$, demostrar que se cumple para n+1. Como los números divisibles entre dos son los números pares, y por definición estos se pueden expresar como 2k (siendo k un número natural), tenemos que ${3}^{n+1}-1=2K \Rightarrow 3*{3}^{n}-1=2k$. Ahora bien, si ${3}^{n}-1$ es par, es porque ${3}^{n}$ es impar. Por lo tanto, $3*{3}^{n}$ es impar (pues es el producto de dos números impares) y ${3}^{n+1}-1$ es par y por lo tanto divisible por dos. Como se cumple para n=1 y para n+1, acabamos de demostrar que se cumple para todos los números naturales.



Ahora bien, hay un modo mucho más sencillo aún, que no requiere el método de inducción. Simplemente tenemos ${3}^{n}-1$. Sabemos que ${3}^{n}$ siempre va a ser impar (pues es 3*3*3... n veces, y el producto de n números impares es impar, independientemente del valor de n). Como ${3}^{n}$ siempre va a ser impar, ${3}^{n}-1$ siempre va a ser par y por lo tanto divisible por dos.


Mi pregunta es, ¿un catedrático (bastante purista, por cierto) daría como bueno el segundo procedimiento en un examen? ¿O es mejor que lo demuestre por inducción aunque sea más largo?

Gracias y un saludo.

[Weip]

Re: ¿Es necesario demostrarlo por inducción?

Si acabáis de hacer inducción, mejor hazlo así. En cuanto a la demostración alternativa, tendrías que demostrarlo todo, incluido el hecho de que $3^n$ siempre es impar. Justamente yo hice una cosa así en una prueba (no era examen gordo, pero contaba para nota) y me pusieron un cero solo por no demostrar que la suma de dos números pares es par. También hay que decir que mi profesor era de los que va a matar a la hora de corregir, pero aprendí la lección.

[Visitante]

Re: ¿Es necesario demostrarlo por inducción?

Pero demostrar que la suma de dos números pares es par es bastante fácil y que de impares sea par también, también lo es el producto de impares. Así que no entiendo muy bien por qué te ponen un cero por no demostrar tal trivialidad.

[Weip]

Re: ¿Es necesario demostrarlo por inducción?

Pero demostrar que la suma de dos números pares es par es bastante fácil y que de impares sea par también, también lo es el producto de impares. Así que no entiendo muy bien por qué te ponen un cero por no demostrar tal trivialidad.

Por eso mismo no lo demostré, porque al ser una trivialidad pensaba que me dejaban usarlo como resultado conocido. Desde entonces siempre me aseguro de saber bien qué me dejan usar como resultado teórico sin demostrar y qué necesita demostración. En el caso de la demostración alternativa de MrM, corre el riesgo que no se la den como buena porque no ha demostrado todo, que aunque sean trivialidades, las ha de probar formalmente.

[Samir M.]

Re: ¿Es necesario demostrarlo por inducción?

También puedes hacerlo (sin inducción) fijándote en que $3^n$ es siempre un número impar (aunque deberías demostrar esto pero no es muy complicado).

[Jose D. Escobedo]

Re: ¿Es necesario demostrarlo por inducción?

Se puede escribir asi $3^n-1=3^n-1^n=(3-1)(3^{n-1}+3^{n-2}+....+3+1 \Longrightarrow$
$2(3^{n-1}+3^{n-2}+...+ 3+1)$

Saludos.