Secundaria Continuidad funciones

[The Higgs Particle]

Hola, tengo aquí un ejercicio que dice:

"Calcula el valor de $a \epsilon R, a > 0$, para que la función $f (x) = \frac{{e}^{x } - {e}^{-x }}{ax }$ si $x < 0$ y ${(\frac{2x + 7}{2x +1 })}^{x }$ si $x \geqslant 0$ sea continua en $x = 0$".

Sé que para que sea continua se tiene que cumplir que $\lim_{x \to {0}^{- }} f(x) = \lim_{x \to {0}^{+ }} f(x) = f (0)$, por lo que:

$\frac{{e}^{x } - {e}^{-x }}{ax } = {(\frac{2x + 7}{2x +1 })}^{x } \to \frac{{e}^{0 } - {e}^{-0 }}{a \cdot 0} = {(\frac{0 + 7}{0+1 })}^{0 }$, pero es que en el primer miembro se me va a quedar, por $a \cdot 0$,dando una indeterminación del tipo $0/0$, mientras que en el otro miembro me va a quedar $1$. ¿Cómo tengo que hacerlo?

[gdonoso94]

Re: Continuidad funciones

¿Has probado a hacer lo que has puesto? Me refiero a resolver los límites. El límite cuando x es menor que cero lo puedes hacer por L'Hopital.

Saludos.

[The Higgs Particle]

Re: Continuidad funciones

No me conozco todavía ese teorema bien, ¿era el que decía que 0/0 =1 ?

[gdonoso94]

Re: Continuidad funciones

El teorema dice que si:

$$\dst\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=0$$

Entonces:

$$\dst\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

En castellano rápido... Que si derivas numerador y denominador (INDEPENDIENTEMENTE UNO DE OTRO, NO ES LA DERIVADA DE UN COCIENTE) el límite es el mismo cuando se da la condición (1).

Saludos.

[The Higgs Particle]

Re: Continuidad funciones

Vale, gracias. Entonces aplico a L'Hopital, resultándome:

$\frac{{e}^{x } - {e}^{-x }}{ax } = {(\frac{2x + 7}{2x +1 })}^{x } \to \frac{d({e}^{x }) - d({e}^{-x })}{ d(ax)} = \frac{{e}^{x } - (-{e}^{x })}{a} = \frac{2 \cdot {e}^{x}}{a }$

Por lo tanto, $\frac{2 \cdot {e}^{0 }}{a} = 1 \to a = 2$. ¿Es correcto?

[gdonoso94]

Re: Continuidad funciones

No exactamente... A ver, veamos el límite por la izquierda, cuando x es negativo:

$\dst\lim_{x\to 0}\frac{e^x-e^{-x}}{ax}=\lim_{x\to 0}\frac{e^x+e^x}{a}=\frac{2}{a}$

En el primer "=" hemos utilizado L'Hoplital, derivando numerador y denominador (por cierto, deberías revisarte la derivada de la exponencial).

Ahora veamos el límite por la derecha, cuando x es positivo:

$\dst \lim_{x\to 0}\left(\frac{2x+7}{2x+1}\right)^x=1$

Como bien has puesto, estos límites en el punto x=0 deben ser iguales, de donde se sigue que a=2.

Espero que lo entiendas, cualquier duda... Pregunta.

Saludos.

- - - Actualizado - - -

Actualizo:

Acabo de fijarme que has sustituido el signo "-" del numerador por un producto, de ahí que no te saliese el ejercicio.

[The Higgs Particle]

Re: Continuidad funciones

Sí, perdona se me había ido con el Latex y pensaba que era una multiplicación. Gracias!

[Weip]

Re: Continuidad funciones

$\frac{d({e}^{x }) - d({e}^{-x })}{ d(ax)}$

Ahí creo que te has hecho un lío con la notación. Si quieres poner las derivadas con la notación de Leibniz en una fracción de dos funciones $f$y $g$, tienes que poner:

$\dst \frac{\dst\frac{df(x)}{dx}}{\dst\frac{dg(x)}{dx}}$

Ahora si querías poner una derivada como $d$, pues está bien, pero se puede confundir con el diferencial de una función.

[The Higgs Particle]

Re: Continuidad funciones

Sí, lo que quería era poner una derivada como $d$, pero tendré cuidado. Gracias!