Secundaria Asíntota oblicua

[The Higgs Particle]

Tengo aquí un ejercicio que dice:

a)Calcula los valores parámetros $a, b$ $\epsilon$ $R$ para que la función $f(x) = \frac{a{x}^{2 } + bx}{x + 1 }$ tenga como asíntota oblicua la recta $y = 2x + 3$.

Lo que yo he hecho es aplicar la fórmula de la asíntota oblicua: $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x } \to \lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot (ax + b)}{x (x +1) } = 2 \to \frac{a{x}^{2}}{{x}^{2}} = 2 \to a =2$.
Y ahora calculo $b$: $n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx] = \lim_{x \to \infty} \frac{2{x}^{2} + bx - 2{x}^{2} -2x}{x + 1 } \to \lim_{x \to \infty} \frac{(b - 2) \cdot x}{x } = 3 \to b = 5$

b) Para los valores encontrados, escribe la ecuación de la recta tangente a la gráfica $f (x)$ en el punto de abcisas $x = 0$

Aquí he calculado la derivada de la función en ese punto, $f ' (0)$:

$f'(x) = \frac{D(2{x}^{2} + 5x) \cdot (x + 1) - (2{x}^{2 } + 5x) \cdot D(x-1)}{ {(x + 1)}^{ 2}} = \frac{4{x}^{2} + 9x +5 -2{x}^{2}-5x}{ {(x+1)}^{2}} = \frac{2{x}^{2} + 4x + 5}{{(x+1)}^{2} } \to f'(0) = 5$$\to m = 5 \to y -f(0) = f'(0) \cdot (x - 0) \to y = 5x$

¿Está bien?

[Al2000]

Re: Asíntota oblicua

Tienes un error, los valores de a y b deben ser 2 y 3, respectivamente, pues es claro que la función f(x) tiende a ax + b cuando x tiende a infinito...

[The Higgs Particle]

Re: Asíntota oblicua

¿Por qué es así? Quiero decir, yo lo que veo es que $\lim_{x \to \infty} \frac{a{x}^{2} + bx}{x + 1 } = a{x}^{2} = \infty$, y no $ax + b$. ¿Cómo sale esto?

Además, si hago la prueba: $f(x) = \frac{2{x}^{2} + 5x}{x + 1} \to m = \lim_{x \to \infty} \frac{2{x}^{2} + 5x}{{x}^{2} + x } = 2$, y $n = \lim_{x \to \infty} \frac{2{x}^{2} + 5x}{x + 1} -2x = \lim_{x \to \infty} \frac{3x}{x +1 } = 3$. Es decir, encaja. ¿Estoy utilizando mal las fórmulas?

[Al2000]

Re: Asíntota oblicua

¿Por qué es así? Quiero decir, yo lo que veo es que $\lim_{x \to \infty} \frac{a{x}^{2} + bx}{x + 1 } = a{x}^{2} = \infty$, y no $ax + b$. ¿Cómo sale esto?
...

Nota que el factor $\dst \frac x {x+1}$ tiende a 1 cuando $x$ se hace muy grande.

...
Además, si hago la prueba: $f(x) = \frac{2{x}^{2} + 5x}{x + 1} \to m = \lim_{x \to \infty} \frac{2{x}^{2} + 5x}{{x}^{2} + x } = 2$, y $n = \lim_{x \to \infty} \frac{2{x}^{2} + 5x}{x + 1} -2x = \lim_{x \to \infty} \frac{3x}{x +1 } = 3$. Es decir, encaja. ¿Estoy utilizando mal las fórmulas?

Pues en verdad no sé lo que estás haciendo ni que papel juega esa $n$ en la solución del ejercicio. Por lo que a mi respecta, $\dst b = \lim_{x \to \infty }\left[f(x) - m x\right]$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[The Higgs Particle]

Re: Asíntota oblicua

Para mí $y = mx + n$; es decir, a lo que tú llamas $b$ yo lo llamo $n$, y por eso uso la misma fórmula que tú me dices (teniendo en cuenta que la pendiente $m = 2$):

$n = b = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx] = \lim_{x \to \infty} [ \frac{a{x}^{2} + bx}{x+1} - 2x]$

[Al2000]

Re: Asíntota oblicua

Disculpa, la intuición me falló estrepitosamente cuando puse que la función debería tender a $ax + b$. Hice lo que debí hacer desde un principio, que fue hacer los cálculos, y obtengo que la asíntota es la recta $y = ax + b-a$. Lamento cualquier confusión que pueda haber generado.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[The Higgs Particle]

Re: Asíntota oblicua

No te preocupes, eso me ha hecho razonar más el por qué tiene que ser así. De todo se aprende. Gracias por tu tiempo, Al