Secundaria Teorema de Darboux

[The Higgs Particle]

Hola, tengo este ejercicio de aplicación del Teorema de Darboux. ¿Está bien demostrado?

"Prueba que la función $f(x) = {e}^{x} - 1$ toma todos los valores en el intervalo $[0, e - 1]$".

El Th. de Darboux dice que si una función es continua en $[a, b]$; $f(a) \neq f(b) \to$ la función $f(x)$ toma todos los valores entre $f(a)$ y $f(b)$ al menos una vez. Como se ve, $f(x)$ es continua $\forall$ $x$ $\varepsilon$ $\mathbb{R}$

${e}^{x} - 1 = 0 \to x = 0$; ${e}^{x} - 1 = e - 1 \to x = 1$. Como habíamos dicho que es continua en todo su dominio ($\mathbb{R}$), $f(x)$ es continua en el intervalo $[0, 1]$, por lo que se cumple el Teorema de Darboux.


¡Muchas gracias!

[angel relativamente]

Re: Teorema de Darboux

Lo veo bien resuelto.

Te reto a que demuestres que, de hecho, toma todos los valores de ese intervalo solamente una vez.

[The Higgs Particle]

Re: Teorema de Darboux

Pues así, lo que se me ocurre es:

Si toma esos valores una sola vez, entonces $\nexists$ ${x}_{1}, {x}_{2}$; ${x}_{1} \neq {x}_{2 }$ | $f({x}_{2}) = f({x}_{1})$. Esto lo demuestro:


1. Viendo para qué valores de $x$ se cumple que $f({x}_{1}) = f({x}_{2 })$. Si $f({x}_{2}) = f({x}_{1}) \to {e}^{{x}_{2} } -1 = {e}^{{x}_{1}} -1 \to ln({e}^{ {x}_{2 }}) = ln({e}^{{x}_{1}}) \to {x}_{2} = {x}_{1}$. Es decir, que para que $f({x}_{2}) = f({x}_{1})$, ${x}_{2} = {x}_{1}$.

2. Demostrando que la función $f(x)$ es creciente en todo su dominio. Si es creciente en todo su dominio, tenemos que $\forall$ ${x}_{1}, {x}_{2}; {x}_{2} > {x}_{1} \to f({x}_{2}) > f({x}_{1})$, por lo que no pueden ser iguales:

a) $\frac{f({x}_{2 }) - f({x}_{1})}{{x}_{2 } - {x}_{1 }} > 0 \to \frac{{e}^{{x}_{2}} - {e}^{{x}_{1} }}{ {x}_{2} - {x}_{1}} > 0$. Y como esto se cumple, $f(x)$ es creciente en todo su dominio.
b) Si tenemos una función $g(x) = mx + b$, sabemos si es creciente o decreciente mirando su pendiente, $m$; de forma que si $m > 0$, $f(x)$ es creciente en todo su dominio. Si $m < 0$, $f(x)$ es decreciente. Pero esta ecuación exponencial no es de ese tipo, por lo que he pensado que si calculamos la derivada, que nos da la tangente, podemos aplicar este proceso. Entonces: $f'(x) = {e}^{x }$. Se cumple que ${e}^{x} > 0$, por lo que es creciente en todo su dominio.

¿Es correcto?

[angel relativamente]

Re: Teorema de Darboux

1. Viendo para qué valores de $x$ se cumple que $f({x}_{1}) = f({x}_{2 })$. Si $f({x}_{2}) = f({x}_{1}) \to {e}^{{x}_{2} } -1 = {e}^{{x}_{1}} -1 \to ln({e}^{ {x}_{2 }}) = ln({e}^{{x}_{1}}) \to {x}_{2} = {x}_{1}$. Es decir, que para que $f({x}_{2}) = f({x}_{1})$, ${x}_{2} = {x}_{1}$.

La "clásica", esta metodología sirve para demostrar que una función es inyectiva. Está bien razonado, pero quizá deja un poco mal sabor de boca ese logaritmo. Queremos demostrar la inyectividad de la exponencial que es una propiedad muy básica y partimos de que tiene una función inversa de la cual conocemos sus propiedades. Es correcto, pero buscaba más algo que se ciñese a la definición.

a) $\frac{f({x}_{2 }) - f({x}_{1})}{{x}_{2 } - {x}_{1 }} > 0 \to \frac{{e}^{{x}_{2}} - {e}^{{x}_{1} }}{ {x}_{2} - {x}_{1}} > 0$. Y como esto se cumple, $f(x)$ es creciente en todo su dominio.

Esta no la entiendo, para razonar que $f(x_2)-f(x_1)>0$ has partido de que es creciente, ¡y es precisamente lo que querías demostrar!

b) Si tenemos una función $g(x) = mx + b$, sabemos si es creciente o decreciente mirando su pendiente, $m$; de forma que si $m > 0$, $f(x)$ es creciente en todo su dominio. Si $m < 0$, $f(x)$ es decreciente. Pero esta ecuación exponencial no es de ese tipo, por lo que he pensado que si calculamos la derivada, que nos da la tangente, podemos aplicar este proceso. Entonces: $f'(x) = {e}^{x }$. Se cumple que ${e}^{x} > 0$, por lo que es creciente en todo su dominio.

Claro que aquí partes de que conoces la derivada (y por tanto sabes que la exponencial es derivable y tal), pero esta me ha gustado. Es cierto que sabiendo que una función derivable tiene derivada estrictamente positiva en todo su dominio, entonces la función es creciente. De hecho lo que queríamos demostrar (y hemos demostrado) es que la función es estrictamente creciente, que quiere decir que siempre se cumple que $f'(x)>0$ (si tuviesemos que $f'(x)\geqslant 0$ sería creciente a secas).

Espero haberte aclarado,

Saludos

[The Higgs Particle]

Re: Teorema de Darboux

Gracias, Ángel!!

Con la segunda quería demostrar que es creciente. Es decir, si no fuese así, se llegaría a un absurdo (se le llama "reducción al absurdo", ¿no?):

$f({x}_{2}) - f({x}_{1}) = {e}^{{x}_{2}} - {e}^{{x}_{1}}$. Y como ${x}_{2} > {x}_{1}, f({x}_{2}) - f({x}_{1}) > 0$, por lo que $f(x)$ es creciente.

Pero, por lo que me has dicho, la mejor es la tercera (será la que use a partir de ahora ).

[Weip]

Re: Teorema de Darboux

Gracias, Ángel!!

Con la segunda quería demostrar que es creciente. Es decir, si no fuese así, se llegaría a un absurdo (se le llama "reducción al absurdo", ¿no?):

$f({x}_{2}) - f({x}_{1}) = {e}^{{x}_{2}} - {e}^{{x}_{1}}$. Y como ${x}_{2} > {x}_{1}, f({x}_{2}) - f({x}_{1}) > 0$, por lo que $f(x)$ es creciente.

Pero, por lo que me has dicho, la mejor es la tercera (será la que use a partir de ahora ).

Para hacer una reducción al absurdo, primero tendrías que suponer lo contrario a lo que quieres demostrar y entonces llegar a una contradicción. No sé si querías decir esto, pero tal como lo has puesto no dejas claro si lo has entendido o no, así que por si acaso yo lo digo.

Ahora tal como lo has puesto está bien, en tu anterior mensaje habías puesto la implicación al revés, que es lo que estaba mal.

Tu tercera respuesta tampoco es que sea la mejor, las tres están bien. Con esto quiero decir que no hace falta que ahora hagas este tipo de demostraciones por esta única vía. Teniendo tres, puedes ser más flexible y elegir cual es la más corta según el caso. Porque si te encuentras con una función muy complicada, a veces es bastante más fácil probar que es creciente por el segundo método que derivarla.