Divulgación Problema sobre dos círculos que comparten un área.

[inakigarber]

Erase una vez dos círculos que compartían un área tal como se aprecia en la figura adjunta de la izquierda. El centro de uno de los círculos coincide con el perímetro del otro. El área compartida por ambos círculos es igual a la mitad del área de uno de los círculos. ¿Son ambos iguales? y si no lo son ¿Cuál es la relación entre sus respectivos radios y sus respectivas áreas.

Respecto a la primera pregunta. Si ambos círculos fueran iguales sus áreas compartidas nunca podrían ser la mitad del área de uno de ellos. Por tanto, el circulo cuya área compartida es la mitad de su área total debe ser el mas pequeño. Sin embargo, cuando he querido calcular el área compartida y por tanto el área de dicho círculo me he quedado bloqueado. Una de las formas que se me ocurren es la de calcular el área de la "lentilla" (figura central) calculando la integral entre A y B pero me pierdo en el cómo hacerlo.

Por otra parte, si la circunferencia grande tuviera un tamaño infinito el corte A y B sería vertical y pasaría por el centro. (en ese caso el perímetro de la circunferencia pequeña no podría coincidir con el centro de la grande a menos a menos que esta también fuera infinita). Dado que ambas circunferencias son finitas el corte A y B debe ser convexo por lo que la proyección sobre el eje x (que usamos como referencia) de los puntos A y B deben estar situada entre ambos centros. (figura izquierda). El radio de la circunferencia menor no puede coincidir con el perímetro de la grande aunque en el dibujo así parezca. De otra manera ambas circunferencias serian iguales, lo cual es incompatible como ya he expuesto más arriba. De todos modos, me pierdo y el sueño me puede, o sea que me tomo un descanso.
¿Cómo lo veis vosotros?

Un saludo y gracias.

[Al2000]

Re: Problema sobre dos círculos que comparten un área.

¿Te sirve un resultado numérico o tiene que ser una solución simbólica? Porque yo planteé una ecuación muy fea que me da una razón de radios de 1.2375 (si no cometí algún error).

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Breogan]

Re: Problema sobre dos círculos que comparten un área.

Hola:

Tenes dos círculos en el plano x,y, uno con su centro en el origen de coordenadas y otro que pasa por el. Esto te define dos ecuaciones:

$\dst Circulo \ centrado: \quad x^2 + y^2 = R^2$

$\dst Circulo \ tangente \ al \ origen: \quad (x - r)^2 + y^2 = r^2$

donde se debe cumplir que $2 r > R$ para que haya intersección.

Cuando halles la intersección de ambos círculos te van a dar dos puntos de intersección (x1,y1) y (x2,y2), tienen que cumplir que x1=x2, por que ambos centros de los círculos están sobre el eje "x".

La superficie intersección sera:

$\dst S = 2 \int_0^R \ f(x) dx$

donde la f(x) esta definida por partes en el dominio de integración, y como solo se toma la parte de la superficie que está por encima del eje "x" se justifica el factor 2 en el calculo:

$\dst f(x) = \left\{ \begin{aligned} \forall \ x \ \in (0 , x_1) & \to f(x) = + \sqrt{r^2 - (x-r)^2} \\ \forall \ x \ \in (x_1 , R) & \to f(x) = + \sqrt{R^2 - x^2} \end{aligned}$

Quedando al final la integral:

$\dst S = 2 \int_0^{x_1} \ \sqrt{r^2 - (x-r)^2} dx + 2 \int_{x_1}^R \ \sqrt{R^2 - x^2} dx$

Creo

s.e.u.o.

Suerte

PD mientras me fui a comer ya contesto Al, mis disculpas.

[Al2000]

Re: Problema sobre dos círculos que comparten un área.

Descarta el supuesto resultado numérico, vi que cometí un error con un ángulo y el resultado al que llegué no tiene significado

[inakigarber]

Re: Problema sobre dos círculos que comparten un área.

Gracias por las respuestas.
Ahora no tengo tiempo, pero en unos días espero meditarlas y razonar al respecto.
Saludos.

[PedroAAI]

Re: Problema sobre dos círculos que comparten un área.

Breogan, en tu ecuación del círculo tangente al origen no debería estar centrado en $2 \pi R$?
Lo digo por que el enunciado dice

El centro de uno de los círculos coincide con el perímetro del otro.

Así la ecuación del segundo círculo debería ser
$(x-2 \pi R)^2+y^2=r^2$
Corrígeme si me equivoco
NOTA: Con esta ecuación ahora el círculo ya no será tangente al origen y no será coherente con el dibujo.
Un saludo

[Breogan]

Re: Problema sobre dos círculos que comparten un área.

Hola:

Disculpa PedroAAI por la demora en la respuesta, pero estaba con otros temas.

Sinceramente primero vi los dibujos y cuando leí el enunciado lo filtre con la información previa, y no le preste suficiente atención, pasando totalmente por alto el significado de la frase que citas.

En cuanto a la frase:

El centro de uno de los círculos coincide con el perímetro del otro.

tomándola textualmente, es del todo incoherente. Es imposible hacer coincidir una linea con un punto, por lo menos hasta donde se.

Como la ecuación que propones no corresponde ni con la interpretación estricta del enunciado, ni con los dibujos posteados por Inakigarber, me atrevo a asumir que las ecuaciones de mi post están mas cerca de corresponder a la situación planteada en el post original.

Suerte