1r ciclo Diferenciales y parciales

[Alephero]

Hola que tal,

Vereis, llevo un par de días dándole vueltas a un asunto y viendo que no saco nada en claro quiero preguntaros a vosotros.

Basicamente, en una función de dos variables z(x,y), cual es la diferencia entre $\frac{\mathrm{dz} }{\mathrm{dx} }$ y $\frac{\partial z}{\partial x }$?

[Weip]

Re: Diferenciales y parciales

Son sólo notación, no tienen ningún significado matemático o físico. La primera indica derivada de una función de una variable y la segunda da a entender que derivas una función de varias variables en la dirección de cierto vector pero nada más. De hecho esas dos notaciones no son las únicas, se usan muchas otras también.

En definitiva, la primera se usa solo para una variable y la segundo para la derivada parcial en dos variables, pero ya está. Cada una tiene su definición como un límite, se aplica y ya está. La primera no tiene sentido para una función de varias variables aunque habitualmente se use.

[visitante20160513]

Re: Diferenciales y parciales

Realmente la primera es solo una particularización de la segunda para funciones de una sola variable.

Salu2, Jabato.

[javier m]

Re: Diferenciales y parciales

Si $y$ es función de $x$, es decir, $y=y(x)$, se tiene que:

$\frac{dz}{dx}=\frac{\partial z}{\partial x } +\frac{\partial z}{\partial y } \frac{dy}{dx}$

O sea, no son lo mismo.

$\frac{\partial z}{\partial x }$ te da una idea de como varía $z$ en función de $x$ si se deja $y$ constante, y $\frac{dz}{dx}$ te dice como varía $z$ en función de $x$

[Samir M.]

Re: Diferenciales y parciales

Exacto, para nada son lo mismo, son conceptos bien distintos, no es una cuestión única de notación (aunque esto también tiene mucha miga). Un ejemplo claro, es un campo escalar de temperaturas en $\mathbb{R}^2$ dependiente de la posición en la que estés, que a su vez estas posiciones dependen del tiempo (en un tiempo u otro estarás en una posición u otra y por tanto la temperatura será distinta). Es decir, definimos el campo $T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$. Supongamos que el campo $T$ es $T = f(x(t),y(t))$. Te pueden pedir cómo varía la temperatura con la posición en $x$, que sería $\frac{\partial T}{\partial x}$, o cuál es el cambio de temperatura con el tiempo, que sería $\frac{dT}{dt}$, quedándonos que

$$\frac{dT}{dt} = \frac{\partial T}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial T}{\partial y} \frac{dy}{dt}$$

Ahí está claro la diferencia entre la parcial y la derivada ordinaria. En cambio, si hubiésemos tenido la función $T = f(x,y,s,t)$ siendo $x = g(s,t)$ e $y=h(s,t)$ entonces el significado de $\frac{\partial T}{\partial t}$ no estaría claro; podría referirse a la derivada parcial simple de T con respecto a su cuarta variable simple (es decir, considerando a $T = f(x,y,s,t)$, o podría referirse a la derivada parcial de la función compuesta $T =f(x(s,t),y(s,t),s,t)$. Debido a esta ambiguedad se suele denotar al primer caso con la notación $\left (\frac{\partial T}{\partial t} \right )_{x,y,s}$ y al segundo simplemente como $\frac{\partial T}{\partial t}$.

No sé por qué se dice que $\frac{dT}{dt}$ no tiene sentido para funciones de varias variables. En este caso se ve que está perfectamente definida con la noción de límite.

Saludos.

[visitante20160513]

Re: Diferenciales y parciales

Está claro que en el ejemplo que has puesto de la temperatura cuando hallas la derivada parcial estas considerando a T como una función de dos variables:

$T=f(x,y)$

y hallas la derivada respecto de la primera, pero cuando hallas la derivada total estás considerando a $T$ como una función de una sola variable:

$T=g(t)$

y hallas su derivada como tal. Otra cosa es que exista un teorema matemático que relacione una y otra habida cuanta de la relación entre $x,y$ y $t$. Pero si no estableces esa relación interna entre variables la cosa cambia.

No debes confundir función con magnitud. Es una sola magnitud (la temperatura) pero dos funciones matemáticas bien distintas.

Salu2, Jabato.

[Samir M.]

Re: Diferenciales y parciales

Exacto, pero es que la relación está dada, si no está dada el problema en sí no tiene sentido. En este caso se da a $x$ e $y$ como funciones de $t$. Esta relación ya te define el campo (y por supuesto función) $T$. Que hablemos de la derivada total de $T$ respecto del tiempo sí, es, de hecho, una derivada ordinaria, pero porque están dadas las relaciones. De hecho, de la definición de límite se establece directamente la relación entre conceptos:

$$\frac{dT(x,y)}{dt} = g'(t) = \lim_{h \to 0} \frac{g(t+h) - g(t)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x(t+h), y(t+h)) - f(x(t),y(t))}{h}$$

lo anterior se reescribe como

$$\lim_{h \to 0} \frac{f(x(t+h), y(t+h)) - f(x(t),y(t+h))}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{f(x(t), y(t+h)) - f(x(t),y(t))}{h}$$

por lo que (regla de la cadena)

$$\frac{dT(x,y)}{dt} = f_1 (x(t), y(t)) x'(t) + f_2 (x(t), y(t))y'(t)$$

Pd: ¿Alguien sabe por qué no se compila el siguiente código?

\  \begin{align*} \frac{dT(x,y)}{dt} &= g'(t) = \lim_{h \to 0}  \frac{g(t+h) - g(t)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x(t+h), y(t+h)) -  f(x(t),y(t))}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{f(x(t+h), y(t+h)) -  f(x(t),y(t+h))}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{f(x(t), y(t+h)) -  f(x(t),y(t+h))}{h} \\ &= f_1 (x(t), y(t)) x'(t) + f_2 (x(t),  y(t))y'(t) \end{align*}

Saludos.